問題は、以下の2つの2次不等式について考えるものです。 * $x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a \le 0$ (①) * $x^2 - 2x - 3 \le 0$ (②) (1)では、不等式①を満たすxの値の範囲をaを用いて表します。 (2)では、まず不等式②を満たすxの値の範囲を求め、次に不等式①と②を同時に満たすxが存在するようなaの値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの2次不等式について考えるものです。

* $x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a \le 0$ (①)

* $x^2 - 2x - 3 \le 0$ (②)

(1)では、不等式①を満たすxの値の範囲をaを用いて表します。

(2)では、まず不等式②を満たすxの値の範囲を求め、次に不等式①と②を同時に満たすxが存在するようなaの値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 不等式①を解く

不等式①の左辺を因数分解します。

$x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a = (x - a)(x - (a+2))$

したがって、不等式①は

$(x - a)(x - (a+2)) \le 0$

となります。

$a \le a+2$であるから、不等式①の解は

$a \le x \le a+2$

となります。

(2)(ア) 不等式②を解く

不等式②の左辺を因数分解します。

$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$

したがって、不等式②は

$(x - 3)(x + 1) \le 0$

となります。

不等式②の解は

$-1 \le x \le 3$

となります。

(2)(イ) ①と②を同時に満たすxが存在する条件

不等式①の解は$a \le x \le a+2$、不等式②の解は$-1 \le x \le 3$です。この2つの範囲に共通部分が存在するためには、以下の条件を満たす必要があります。

$a \le 3$ かつ $a+2 \ge -1$

これを解くと、

$a \le 3$ かつ $a \ge -3$

したがって、

$-3 \le a \le 3$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $a \le x \le a+2$

(2)(ア) $-1 \le x \le 3$

(2)(イ) $-3 \le a \le 3$