(1) 不等式 $2x^2 - 3x - 5 > 0$ を解く。 (2) (1)の不等式を満たし、同時に不等式 $x^2 + (a-3)x - 2a + 2 < 0$ を満たす整数 $x$ の値がただ1つであるように、定数 $a$ の条件を定める。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $2x^2 - 3x - 5 > 0$ を解く。

(2) (1)の不等式を満たし、同時に不等式 $x^2 + (a-3)x - 2a + 2 < 0$ を満たす整数 $x$ の値がただ1つであるように、定数 $a$ の条件を定める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $2x^2 - 3x - 5 > 0$ を解く。

左辺を因数分解すると、

$(2x - 5)(x + 1) > 0$

したがって、$x < -1$ または $x > \frac{5}{2}$

(2) 不等式 $x^2 + (a-3)x - 2a + 2 < 0$ を解く。

左辺を因数分解すると、

$(x - 2)(x + a - 1) < 0$

したがって、$a-1 < 2$ のとき、すなわち $a < 3$ のとき、$a-1 < x < 2$

$a-1 > 2$ のとき、すなわち $a > 3$ のとき、$2 < x < a-1$

$a-1 = 2$ のとき、すなわち $a = 3$ のとき、$(x-2)^2 < 0$ となり、解なし。

(1)の不等式の解は、$x < -1$ または $x > \frac{5}{2}$ である。

(2)の不等式の解は、$a < 3$ のとき $a-1 < x < 2$、$a > 3$ のとき $2 < x < a-1$である。

(1)と(2)を同時に満たす整数$x$がただ1つとなるように$a$の条件を定める。

$a < 3$ のとき、整数$x$は$a-1 < x < 2$を満たす。

(1)を満たす整数$x$は、$x< -1$または$x>2.5$であるから、

$x=2$を満たさない。したがって、$a-1 < x < -1$を満たす整数$x$が1つだけとなればよい。

$a-1 < x < -1$を満たす整数$x$が1つだけの場合を考える。

$a-1$は整数でない可能性があることに注意する。

$a-1 < -2$ かつ $a-1 \geq -3$となる必要がある。

すなわち、$-2<a\leq -1$となる。

$a > 3$ のとき、整数$x$は$2 < x < a-1$を満たす。

(1)を満たす整数$x$は、$x< -1$または$x>2.5$であるから、

$x=3$でなければならない。したがって、$3 < a-1 \leq 4$

$4 < a \leq 5$となる。

3. 最終的な答え

$-2<a\leq -1$ または $4 < a \leq 5$