与えられた二次関数の定義域における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次関数の定義域における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

各二次関数について、以下の手順で最大値と最小値を求めます。

(1) $y = -2x^2 - 4x + 1$ ($-2 \le x < 1$)

平方完成して頂点を求めます。

$y = -2(x^2 + 2x) + 1 = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 = -2(x+1)^2 + 2 + 1 = -2(x+1)^2 + 3$

頂点は $(-1, 3)$です。上に凸な放物線です。

$x = -2$のとき、$y = -2(-2)^2 - 4(-2) + 1 = -8 + 8 + 1 = 1$

$x = 1$のとき、$y = -2(1)^2 - 4(1) + 1 = -2 - 4 + 1 = -5$

ただし、$x=1$は定義域に含まれないので、$y=-5$は取りません。

したがって、最大値は$3$ ($x = -1$のとき)、最小値は$1$ ($x=-2$のとき)です。

(2) $y = x^2 + 3x + 3$ ($0 < x \le 2$)

平方完成して頂点を求めます。

$y = x^2 + 3x + 3 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 3 = (x + \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}$

頂点は$(-\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$です。下に凸な放物線です。

$x = 0$のとき、$y = 0^2 + 3(0) + 3 = 3$

$x = 2$のとき、$y = 2^2 + 3(2) + 3 = 4 + 6 + 3 = 13$

ただし、$x=0$は定義域に含まれないので、$y=3$は取りません。

定義域内で最小値は頂点の$x$座標に一番近い$x$座標の値を取ります。今回は$x$座標が$0$より大きい範囲なので、$x$が$0$に近づくにつれて、$y$は$3$に近づきますが、$3$になることはありません。

したがって、最大値は$13$ ($x=2$のとき)、最小値はありません。

(3) $y = 3(x+1)(x-2)$ ($0 \le x < 3$)

$y = 3(x^2 - x - 2) = 3x^2 - 3x - 6$

平方完成して頂点を求めます。

$y = 3(x^2 - x) - 6 = 3(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - 6 = 3(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4} - 6 = 3(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{27}{4}$

頂点は$(\frac{1}{2}, -\frac{27}{4})$です。下に凸な放物線です。

$x = 0$のとき、$y = 3(0+1)(0-2) = -6$

$x = 3$のとき、$y = 3(3+1)(3-2) = 3(4)(1) = 12$

ただし、$x=3$は定義域に含まれないので、$y=12$は取りません。

したがって、最小値は$-\frac{27}{4}$ ($x = \frac{1}{2}$のとき)、最大値はありません。

(4) $y = x^2 - 2x + 2$ ($-1 < x < 2$)

平方完成して頂点を求めます。

$y = x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 - 1 + 2 = (x-1)^2 + 1$

頂点は$(1, 1)$です。下に凸な放物線です。

$x = -1$のとき、$y = (-1)^2 - 2(-1) + 2 = 1 + 2 + 2 = 5$

$x = 2$のとき、$y = 2^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$

ただし、$x=-1$と$x=2$は定義域に含まれないので、$y=5$と$y=2$は取りません。

$x$は$-1$より大きく、$2$より小さいので、$x$が$-1$に近づくにつれて$y$は$5$に近づきますが、$5$になることはありません。また、$x$が$2$に近づくにつれて、$y$は$2$に近づきますが、$2$になることはありません。

したがって、最小値は$1$ ($x = 1$のとき)、最大値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 3 (x = -1)、最小値: 1 (x = -2)

(2) 最大値: 13 (x = 2)、最小値: なし

(3) 最大値: なし、最小値: -27/4 (x = 1/2)

(4) 最大値: なし、最小値: 1 (x = 1)