(1) $x^2 - 4|x| + 3 = 0$ の方程式を解く。 (3) $|4x-3| < -x+7$ の不等式を解く。

1. 問題の内容

(1) $x^2 - 4|x| + 3 = 0$ の方程式を解く。

(3) $|4x-3| < -x+7$ の不等式を解く。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 4|x| + 3 = 0$

絶対値記号を扱うため、$x$ の符号によって場合分けする。

(i) $x \ge 0$ のとき、 $|x| = x$ であるから、

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x-1)(x-3) = 0$

$x = 1, 3$

いずれも $x \ge 0$ を満たすので、解である。

(ii) $x < 0$ のとき、 $|x| = -x$ であるから、

$x^2 + 4x + 3 = 0$

$(x+1)(x+3) = 0$

$x = -1, -3$

いずれも $x < 0$ を満たすので、解である。

(3) $|4x-3| < -x+7$

絶対値記号を扱うため、$4x-3$ の符号によって場合分けする。

(i) $4x-3 \ge 0$ つまり $x \ge \frac{3}{4}$ のとき、$|4x-3| = 4x-3$ であるから、

$4x-3 < -x+7$

$5x < 10$

$x < 2$

$x \ge \frac{3}{4}$ と $x < 2$ を満たす範囲は $\frac{3}{4} \le x < 2$

(ii) $4x-3 < 0$ つまり $x < \frac{3}{4}$ のとき、$|4x-3| = -(4x-3) = -4x+3$ であるから、

$-4x+3 < -x+7$

$-3x < 4$

$x > -\frac{4}{3}$

$x < \frac{3}{4}$ と $x > -\frac{4}{3}$ を満たす範囲は $-\frac{4}{3} < x < \frac{3}{4}$

(i) と (ii) を合わせると、 $-\frac{4}{3} < x < 2$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, 3, -1, -3$

(3) $-\frac{4}{3} < x < 2$