全体集合 $U$ の要素に関する条件 $p, q$ について、$p$ を満たす要素の集合を $P$ 、$q$ を満たす要素の集合を $Q$ とする。$U$ を全体集合とする $P, Q$ の補集合をそれぞれ $\overline{P}, \overline{Q}$ とする。以下の3つの命題の空欄に当てはまるものを、選択肢ア～オの中からそれぞれ選ぶ問題。 (1) 命題「$p \Rightarrow q$」が真であることと \_\_\_ が成り立つことは同じである。 (2) 命題「$\overline{p} \Rightarrow q$」が真であることと \_\_\_ が成り立つことは同じである。 (3) すべての自然数が条件「$\overline{p}$ または $q$」を満たすことと \_\_\_ が成り立つことは同じである。 選択肢は以下： ア) $P \subset Q$ イ) $P \supset Q$ ウ) $\overline{P} \subset \overline{Q}$ エ) $\overline{P} \supset \overline{Q}$ オ) $\overline{P} \supset Q$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の要素に関する条件 $p, q$ について、$p$ を満たす要素の集合を $P$ 、$q$ を満たす要素の集合を $Q$ とする。$U$ を全体集合とする $P, Q$ の補集合をそれぞれ $\overline{P}, \overline{Q}$ とする。以下の3つの命題の空欄に当てはまるものを、選択肢ア～オの中からそれぞれ選ぶ問題。

(1) 命題「$p \Rightarrow q$」が真であることと \_\_\_ が成り立つことは同じである。

(2) 命題「$\overline{p} \Rightarrow q$」が真であることと \_\_\_ が成り立つことは同じである。

(3) すべての自然数が条件「$\overline{p}$ または $q$」を満たすことと \_\_\_ が成り立つことは同じである。

選択肢は以下：

ア) $P \subset Q$

イ) $P \supset Q$

ウ) $\overline{P} \subset \overline{Q}$

エ) $\overline{P} \supset \overline{Q}$

オ) $\overline{P} \supset Q$

2. 解き方の手順

(1) 命題「$p \Rightarrow q$」が真であるということは、$p$ を満たす要素は必ず $q$ を満たすということなので、$P \subset Q$ が成り立つ。したがって、答えはア。

(2) 命題「$\overline{p} \Rightarrow q$」が真であるということは、$\overline{p}$ を満たす要素は必ず $q$ を満たすということなので、$\overline{P} \subset Q$ が成り立つ。したがって、答えはオ。

(3) すべての自然数が条件「$\overline{p}$ または $q$」を満たすということは、$\overline{P} \cup Q = U$ が成り立つということである。これは、$(\overline{\overline{P} \cup Q}) = \overline{U}$ 、つまり $P \cap \overline{Q} = \emptyset$ が成り立つことと同値である。$P \cap \overline{Q} = \emptyset$ は、$P \subset Q$と同値である。また、$P \subset Q$は$\overline{Q} \subset \overline{P}$ と同値である。これは $\overline{P} \supset \overline{Q}$ とも書ける。したがって、答えはエ。

3. 最終的な答え

(1) ア

(2) オ

(3) エ