次の命題の逆、裏、対偶を作り、その真偽を調べ、偽の場合は反例をあげる。 (1) $x > 1$ ならば $x \geq 1$ である。 (2) $0 < a < 1$ ならば $a^2 < a$ である。 (3) $x^2 = y^2$ ならば $x = y$ である。

1. 問題の内容

次の命題の逆、裏、対偶を作り、その真偽を調べ、偽の場合は反例をあげる。

(1) $x > 1$ ならば $x \geq 1$ である。

(2) $0 < a < 1$ ならば $a^2 < a$ である。

(3) $x^2 = y^2$ ならば $x = y$ である。

2. 解き方の手順

(1) $x > 1$ ならば $x \geq 1$ である。

* 逆：$x \geq 1$ ならば $x > 1$ である。

* 真偽：偽

* 反例：$x = 1$

* 裏：$x \leq 1$ ならば $x \leq 1$ である。

* 真偽：真

* 対偶：$x < 1$ ならば $x \leq 1$ である。

* 真偽：真

(2) $0 < a < 1$ ならば $a^2 < a$ である。

* 逆：$a^2 < a$ ならば $0 < a < 1$ である。

* 真偽：真

* 証明：$a^2 < a$ より $a^2 - a < 0$。 よって $a(a-1) < 0$。ゆえに $0 < a < 1$。

* 裏：$a \leq 0$ または $a \geq 1$ ならば $a^2 \geq a$ である。

* 真偽：真

* 対偶：$a^2 \geq a$ ならば $a \leq 0$ または $a \geq 1$ である。

* 真偽：真

(3) $x^2 = y^2$ ならば $x = y$ である。

* 逆：$x = y$ ならば $x^2 = y^2$ である。

* 真偽：真

* 裏：$x \neq y$ ならば $x^2 \neq y^2$ である。

* 真偽：偽

* 反例：$x = 1$, $y = -1$

* 対偶：$x^2 \neq y^2$ ならば $x \neq y$ である。

* 真偽：真

3. 最終的な答え

(1) $x > 1$ ならば $x \geq 1$ である。

* 逆：$x \geq 1$ ならば $x > 1$ である。(偽、反例：$x = 1$)

* 裏：$x < 1$ ならば $x \leq 1$ である。(真)

* 対偶：$x < 1$ ならば $x \leq 1$ である。(真)

(2) $0 < a < 1$ ならば $a^2 < a$ である。

* 逆：$a^2 < a$ ならば $0 < a < 1$ である。(真)

* 裏：$a \leq 0$ または $a \geq 1$ ならば $a^2 \geq a$ である。(真)

* 対偶：$a^2 \geq a$ ならば $a \leq 0$ または $a \geq 1$ である。(真)

(3) $x^2 = y^2$ ならば $x = y$ である。

* 逆：$x = y$ ならば $x^2 = y^2$ である。(真)

* 裏：$x \neq y$ ならば $x^2 \neq y^2$ である。(偽、反例：$x = 1$, $y = -1$)

* 対偶：$x^2 \neq y^2$ ならば $x \neq y$ である。(真)