命題 $p \Rightarrow q$ と $q \Rightarrow p$ がどちらも成立しない例を一つ挙げる問題です。

1. 問題の内容

命題 $p \Rightarrow q$ と $q \Rightarrow p$ がどちらも成立しない例を一つ挙げる問題です。

2. 解き方の手順

$p \Rightarrow q$ が成立しないのは、$p$ が真であるにもかかわらず $q$ が偽である場合です。同様に、$q \Rightarrow p$ が成立しないのは、$q$ が真であるにもかかわらず $p$ が偽である場合です。したがって、$p$ が真で $q$ が偽となる場合と、$q$ が真で $p$ が偽となる場合の両方が存在するように $p$ と $q$ を設定する必要があります。

例えば、$p$:「$x$ は 4 の倍数である」、$q$:「$x$ は 6 の倍数である」とします。

* $x = 12$ のとき、$p$ は「12 は 4 の倍数である」となり、真です。$q$ は「12 は 6 の倍数である」となり、真です。

* $x = 4$ のとき、$p$ は「4 は 4 の倍数である」となり、真です。$q$ は「4 は 6 の倍数である」となり、偽です。したがって、$p \Rightarrow q$ は成り立ちません。

* $x = 6$ のとき、$p$ は「6 は 4 の倍数である」となり、偽です。$q$ は「6 は 6 の倍数である」となり、真です。したがって、$q \Rightarrow p$ は成り立ちません。

3. 最終的な答え

$p$:「$x$ は 4 の倍数である」、$q$:「$x$ は 6 の倍数である」