与えられた3つの命題について、それぞれの命題とその否定の真偽を調べる問題です。 (1) すべての実数 $x$ について、$x^2 > 0$ (2) ある素数 $x$ について、$x$ は偶数である。 (3) 任意の実数 $x, y$ に対して、$x^2 - 4xy + 4y^2 > 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの命題について、それぞれの命題とその否定の真偽を調べる問題です。

(1) すべての実数 $x$ について、$x^2 > 0$

(2) ある素数 $x$ について、$x$ は偶数である。

(3) 任意の実数 $x, y$ に対して、$x^2 - 4xy + 4y^2 > 0$

2. 解き方の手順

(1) すべての実数 $x$ について、$x^2 > 0$

* 命題：すべての実数 $x$ について、$x^2 > 0$

* 否定：ある実数 $x$ について、$x^2 \leq 0$

* これは、$x^2 \leq 0$ となる $x$ が存在するという意味です。

$x=0$のとき、$x^2 = 0^2 = 0$なので、$x^2 > 0$は成り立ちません。したがって、命題は偽です。

一方、否定は$x=0$のとき、$x^2 = 0 \leq 0$となり真です。

(2) ある素数 $x$ について、$x$ は偶数である。

* 命題：ある素数 $x$ について、$x$ は偶数である。

* 否定：すべての素数 $x$ について、$x$ は偶数でない（奇数である）。

素数は、$2, 3, 5, 7, 11, ...$ です。

$x=2$ のとき、$x$ は素数であり、かつ偶数です。したがって、命題は真です。

否定は、$x=2$という反例が存在するので、偽です。

(3) 任意の実数 $x, y$ に対して、$x^2 - 4xy + 4y^2 > 0$

* 命題：任意の実数 $x, y$ に対して、$x^2 - 4xy + 4y^2 > 0$

* 否定：ある実数 $x, y$ に対して、$x^2 - 4xy + 4y^2 \leq 0$

$x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2$ なので、

命題は、「任意の実数 $x, y$ に対して、$(x - 2y)^2 > 0$」となります。

$x - 2y = 0$ となる場合、つまり $x = 2y$ の場合、$(x - 2y)^2 = 0$ となり、$(x - 2y)^2 > 0$は成り立ちません。

例えば、$x=2, y=1$のとき、$x - 2y = 2 - 2(1) = 0$となり、$(x - 2y)^2 = 0$です。

したがって、命題は偽です。

否定は、$x=2, y=1$のとき、$x^2 - 4xy + 4y^2 = (2 - 2(1))^2 = 0 \leq 0$となり、真です。

3. 最終的な答え

(1)

* 命題：偽

* 否定：真

(2)

* 命題：真

* 否定：偽

(3)

* 命題：偽

* 否定：真