与えられた二つの条件 $p$ と $q$ について、命題 $p \implies q$ の真偽を集合を用いて調べる。 (1) 実数 $x$ に関する条件 $p: x \le 2$, $q: x \le 4$ (2) 自然数 $m$ に関する条件 $p: m$ は 12 の正の約数, $q: m$ は 18 の正の約数

1. 問題の内容

与えられた二つの条件 $p$ と $q$ について、命題 $p \implies q$ の真偽を集合を用いて調べる。

(1) 実数 $x$ に関する条件 $p: x \le 2$, $q: x \le 4$

(2) 自然数 $m$ に関する条件 $p: m$ は 12 の正の約数, $q: m$ は 18 の正の約数

2. 解き方の手順

(1) 実数 $x$ について、条件 $p$ を満たす $x$ の集合を $P$, 条件 $q$ を満たす $x$ の集合を $Q$ とする。

$P = \{x | x \le 2\}$

$Q = \{x | x \le 4\}$

$P \subseteq Q$ であるから、命題 $p \implies q$ は真である。

(2) 自然数 $m$ について、条件 $p$ を満たす $m$ の集合を $P$, 条件 $q$ を満たす $m$ の集合を $Q$ とする。

12 の正の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 であるから、 $P = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$

18 の正の約数は 1, 2, 3, 6, 9, 18 であるから、$Q = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$

$P \cap Q = \{1, 2, 3, 6\}$

$P$ の要素である 4, 12 は $Q$ の要素ではないので、$P \subseteq Q$ は成り立たない。

よって、命題 $p \implies q$ は偽である。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽