与えられた命題 $p$ と $q$ について、それぞれの真偽を考察する問題です。 (1) $p: a+b > 0$ かつ $ab > 0$ $q: a > 0$ かつ $b > 0$ (2) $p: x = 4$ $q: x^2 - 6x + 8 = 0$ (3) $p:$ 図形 $F$ が長方形 $q:$ 図形 $F$ がひし形 (4) $p: \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ $q: \triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$

以下に、問題の内容と解き方を記載します。

1. 問題の内容

与えられた命題 $p$ と $q$ について、それぞれの真偽を考察する問題です。

(1) $p: a+b > 0$ かつ $ab > 0$

$q: a > 0$ かつ $b > 0$

(2) $p: x = 4$

$q: x^2 - 6x + 8 = 0$

(3) $p:$ 図形 $F$ が長方形

$q:$ 図形 $F$ がひし形

(4) $p: \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$

$q: \triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$

2. 解き方の手順

(1)

$p: a+b > 0$ かつ $ab > 0$

$q: a > 0$ かつ $b > 0$

$ab > 0$ より、$a$ と $b$ は同符号です。$a+b > 0$ より、$a$ と $b$ はともに正の数です。したがって、$p$ は $a > 0$ かつ $b > 0$ と同値です。

$p \iff q$

(2)

$p: x = 4$

$q: x^2 - 6x + 8 = 0$

$x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4) = 0$ より、$x = 2, 4$ です。

$q$ は $x = 2$ または $x = 4$ を意味します。したがって、$p$ ならば $q$ は真ですが、$q$ ならば $p$ は偽です。

$p \implies q$

(3)

$p:$ 図形 $F$ が長方形

$q:$ 図形 $F$ がひし形

長方形であることは、ひし形であるための必要条件でも十分条件でもありません。長方形は4つの角が直角である四角形であり、ひし形は4つの辺の長さが等しい四角形です。正方形は長方形かつひし形ですが、すべての長方形がひし形であるわけではなく、すべてのひし形が長方形であるわけでもありません。

$p \nRightarrow q$ かつ $q \nRightarrow p$

(4)

$p: \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$

$q: \triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$

$\triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$ であれば、$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ は真です。

$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ であっても、$\triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$ とは限りません。

したがって、$q$ ならば $p$ は真ですが、$p$ ならば $q$ は偽です。

$q \implies p$

3. 最終的な答え

(1) $p \iff q$

(2) $p \implies q$

(3) $p \nRightarrow q$ かつ $q \nRightarrow p$

(4) $q \implies p$