与えられた2つの命題が偽であることを示す反例をそれぞれ1つずつ挙げる。 (1) 「$x > 0$ または $y > 0$ ならば $x + y > 0$」 (2) 「実数 $a, b$ について $a < 1, b < 1$ ならば $ab < 1$」

1. 問題の内容

与えられた2つの命題が偽であることを示す反例をそれぞれ1つずつ挙げる。

(1) 「$x > 0$ または $y > 0$ ならば $x + y > 0$」

(2) 「実数 $a, b$ について $a < 1, b < 1$ ならば $ab < 1$」

2. 解き方の手順

(1) $x > 0$ または $y > 0$ を満たし、かつ $x + y \le 0$ となるような $x, y$ を見つける。

例えば、$x = -3, y = 2$ のとき、$x < 0$ であるが、$y > 0$ なので、$x > 0$ または $y > 0$ は満たされる。

しかし、$x + y = -3 + 2 = -1 < 0$ なので、$x + y > 0$ は満たされない。

(2) $a < 1$ かつ $b < 1$ を満たし、かつ $ab \ge 1$ となるような $a, b$ を見つける。

例えば、$a = -1, b = -2$ のとき、$a < 1$ かつ $b < 1$ である。

しかし、$ab = (-1)(-2) = 2 > 1$ なので、$ab < 1$ は満たされない。

3. 最終的な答え

(1) 反例: $x = -3, y = 2$

(2) 反例: $a = -1, b = -2$