1辺が $h$ mの正方形の池の周りに幅 $a$ mの道がある。道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ mとするとき、$S = al$ となることを証明する。

1. 問題の内容

1辺が $h$ mの正方形の池の周りに幅 $a$ mの道がある。道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ mとするとき、$S = al$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を計算する。外側の正方形の一辺の長さは $h + 2a$ mである。したがって、道の面積は外側の正方形の面積から池の面積を引いたものなので、

$S = (h + 2a)^2 - h^2$

これを展開すると、

$S = h^2 + 4ah + 4a^2 - h^2$

$S = 4ah + 4a^2$

$S = 4a(h + a)$

次に、道の真ん中を通る線の長さ $l$ を計算する。道の真ん中を通る正方形の一辺の長さは $h + a$ mである。したがって、

$l = 4(h + a)$

したがって、$al = a \times 4(h+a) = 4a(h+a)$

$S = 4a(h+a)$ であり、$al = 4a(h+a)$であるから、$S=al$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$S = al$ が成り立つ。