次の3つの関数のグラフを描け。 (1) $y = |2x+1|$ (2) $y = |x^2+x|$ (3) $y = |x^2-3x-4|$

1. 問題の内容

次の3つの関数のグラフを描け。

(1) $y = |2x+1|$

(2) $y = |x^2+x|$

(3) $y = |x^2-3x-4|$

2. 解き方の手順

(1) $y = |2x+1|$

まず、$y = 2x+1$ のグラフを描きます。これは傾きが2、y切片が1の直線です。次に、$2x+1 \geq 0$ のとき、$y = 2x+1$ であり、$2x+1 < 0$ のとき、$y = -(2x+1) = -2x-1$ となります。つまり、$y = 2x+1$ のグラフで、$y < 0$ の部分をx軸に関して対称に折り返したものが、$y = |2x+1|$ のグラフになります。

$2x+1 = 0$ となるのは $x = -\frac{1}{2}$ のときなので、$x = -\frac{1}{2}$ がグラフの折れ曲がり点になります。

(2) $y = |x^2+x|$

まず、$y = x^2+x$ のグラフを描きます。これは、$y = x(x+1)$ と変形できるので、x軸との交点は $x=0, -1$ となります。平方完成すると、$y = (x+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$ となるので、頂点は $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$ となります。

次に、$x^2+x \geq 0$ のとき、$y = x^2+x$ であり、$x^2+x < 0$ のとき、$y = -(x^2+x) = -x^2-x$ となります。つまり、$y = x^2+x$ のグラフで、$y < 0$ の部分をx軸に関して対称に折り返したものが、$y = |x^2+x|$ のグラフになります。

$x^2+x = 0$ となるのは $x = 0, -1$ のときなので、$x = 0, -1$ がグラフの交点となります。頂点は $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ となります。

(3) $y = |x^2-3x-4|$

まず、$y = x^2-3x-4$ のグラフを描きます。これは、$y = (x-4)(x+1)$ と変形できるので、x軸との交点は $x=4, -1$ となります。平方完成すると、$y = (x-\frac{3}{2})^2 - \frac{25}{4}$ となるので、頂点は $(\frac{3}{2}, -\frac{25}{4})$ となります。

次に、$x^2-3x-4 \geq 0$ のとき、$y = x^2-3x-4$ であり、$x^2-3x-4 < 0$ のとき、$y = -(x^2-3x-4) = -x^2+3x+4$ となります。つまり、$y = x^2-3x-4$ のグラフで、$y < 0$ の部分をx軸に関して対称に折り返したものが、$y = |x^2-3x-4|$ のグラフになります。

$x^2-3x-4 = 0$ となるのは $x = 4, -1$ のときなので、$x = 4, -1$ がグラフの交点となります。頂点は $(\frac{3}{2}, \frac{25}{4})$ となります。

3. 最終的な答え

グラフについては描画ソフトやツールを用いて描いてください。ここでは、上記の手順に従って各関数のグラフを描けば良いことになります。それぞれのグラフの特徴点をまとめると以下のようになります。

(1) $y=|2x+1|$: $x = -\frac{1}{2}$ で折れ曲がるV字型のグラフ。

(2) $y=|x^2+x|$: $x = -1, 0$ でx軸と交わり、$x = -\frac{1}{2}$ で頂点を持つ。

(3) $y=|x^2-3x-4|$: $x = -1, 4$ でx軸と交わり、$x = \frac{3}{2}$ で頂点を持つ。