$\triangle OAB$ において、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とする。実数 $s, t$ が与えられた条件を満たしながら動くとき、点 $P$ の存在範囲を求める問題である。 (1) $s + 2t = 3$ の場合。 (2) $1 \le s + t \le 2$ かつ $s \ge 0, t \ge 0$ の場合。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とする。実数 $s, t$ が与えられた条件を満たしながら動くとき、点 $P$ の存在範囲を求める問題である。

(1) $s + 2t = 3$ の場合。

(2) $1 \le s + t \le 2$ かつ $s \ge 0, t \ge 0$ の場合。

2. 解き方の手順

(1) $s + 2t = 3$ の場合

$s + 2t = 3$ より $s = 3 - 2t$ なので、$\overrightarrow{OP} = (3 - 2t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = 3\overrightarrow{OA} + t(-2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ となる。

ここで、$\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OD} = -2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ とすると、$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + t\overrightarrow{OD}$ となる。

ここで、直線 $CD$ を考える。$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CD}$ より、$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = -2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - 3\overrightarrow{OA} = -5\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ である。

$\overrightarrow{OP} = (1 - u)\overrightarrow{OC} + u\overrightarrow{OD}$ となる $u$ を用いると、

$\overrightarrow{OP} = (1 - u)3\overrightarrow{OA} + u(-2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) = (3 - 5u)\overrightarrow{OA} + u\overrightarrow{OB}$ となる。

$s + 2t = 3$ を満たす $s, t$ を用いて、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ と表せることから、$s = 3 - 2t$ となる。

$t = u$ とすると、$s = 3 - 5u$ となるので、$3 - 5u + 2u = 3$ となり、整合性が取れる。

$\overrightarrow{OP} = 3\overrightarrow{OA} + t(-2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ であり、$t$ が実数全体を動くことから、点 $P$ は点 $C(3A)$ を通り、ベクトル $-2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ に平行な直線上を動く。

または、$s+2t = 3$ を $\frac{s}{3} + \frac{2t}{3} = 1$ と変形し、$S = \frac{s}{3}$, $T = \frac{2t}{3}$ とおくと、$S + T = 1$ となる。

$\overrightarrow{OA'} = 3\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB'} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OB}$ とおくと、$\overrightarrow{OP} = 3S\overrightarrow{OA} + \frac{3}{2}T\overrightarrow{OB} = S\overrightarrow{OA'} + T\overrightarrow{OB'}$ となり、$S + T = 1$ より、点 $P$ は直線 $A'B'$ 上を動く。

(2) $1 \le s + t \le 2$ かつ $s \ge 0, t \ge 0$ の場合

$k = s + t$ とおくと、$1 \le k \le 2$ となる。

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = k\left(\frac{s}{k}\overrightarrow{OA} + \frac{t}{k}\overrightarrow{OB}\right)$ となる。

$\frac{s}{k} = S$, $\frac{t}{k} = T$ とおくと、$S + T = 1$ かつ $S \ge 0, T \ge 0$ である。

よって、$\overrightarrow{OQ} = S\overrightarrow{OA} + T\overrightarrow{OB}$ とおくと、点 $Q$ は線分 $AB$ 上を動く。

$\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OQ}$ であり、$1 \le k \le 2$ より、点 $P$ は $k=1$ のとき線分 $AB$ 上、$k=2$ のとき線分 $AB$ を2倍に拡大した線分上を動く。

したがって、点 $P$ の存在範囲は、$\triangle OAB$ の辺 $OA$, $OB$, $AB$ をそれぞれ2倍に拡大した $\triangle OA'B'$ (ただし $A'=2A, B'=2B$) を考え、台形 $ABB'A'$ の内部および周上となる。

3. 最終的な答え

(1) 点 $P$ の存在範囲は、点 $A' (3A)$ と点 $B' (\frac{3}{2} B)$ を通る直線 $A'B'$ である。

(2) 点 $P$ の存在範囲は、台形 $ABB'A'$ (ただし $A'=2A, B'=2B$) の内部および周上である。