円と点Pがあり、点Pから円に引かれた2本の直線が円とそれぞれ2点で交わっています。PA = x, AB = 9, PC = 4, CD = 5のとき、xの値を求めよ。

1. 問題の内容

円と点Pがあり、点Pから円に引かれた2本の直線が円とそれぞれ2点で交わっています。PA = x, AB = 9, PC = 4, CD = 5のとき、xの値を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、円の割線定理を利用して解くことができます。割線定理とは、円外の点Pから円に2本の直線を引き、それぞれの直線が円と2点A,BおよびC,Dで交わるとき、

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

が成り立つというものです。

この問題では、PA = x, AB = 9, PC = 4, CD = 5なので、PB = PA + AB = x + 9, PD = PC + CD = 4 + 5 = 9です。

これらの値を割線定理の式に代入すると、

$x(x+9) = 4 \cdot 9$

となります。

この方程式を解いてxの値を求めます。

$x(x+9) = 36$

$x^2 + 9x = 36$

$x^2 + 9x - 36 = 0$

この二次方程式を因数分解すると、

$(x+12)(x-3) = 0$

となります。

したがって、x = -12 または x = 3 となります。

xは線分の長さなので、正の値をとります。

よって、x = 3となります。

3. 最終的な答え

x = 3