放物線 $y = x^2 + 6x + 7$ が $x$ 軸と2点で交わるとき、その交点を A, B とする。線分 AB の長さを求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 6x + 7$ が $x$ 軸と2点で交わるとき、その交点を A, B とする。線分 AB の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

放物線と $x$ 軸の交点を求めるには、$y = 0$ として、$x$ の値を求めればよい。つまり、

$x^2 + 6x + 7 = 0$ を解く。

この2次方程式を解くために、解の公式を使う。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

今回の場合は、$a = 1$, $b = 6$, $c = 7$ なので、

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{8}}{2}$

$x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

$x = -3 \pm \sqrt{2}$

したがって、交点の $x$ 座標は $-3 + \sqrt{2}$ と $-3 - \sqrt{2}$ である。

A, B の $x$ 座標をそれぞれ $x_A = -3 + \sqrt{2}$、 $x_B = -3 - \sqrt{2}$ とすると、線分 AB の長さは

$|x_A - x_B| = |(-3 + \sqrt{2}) - (-3 - \sqrt{2})| = |2\sqrt{2}| = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2}$