$|a|=2$, $|b|=3$, $a \cdot b = -5$ のとき、以下の問いに答える。 (1) $|a + tb|$ の最小値と、そのときの $t$ の値を求めよ。 (2) (1)で求めた $t$ の値 $t_1$ に対して、$a + t_1 b$ と $b$ が垂直であることを確かめよ。

1. 問題の内容

$|a|=2$, $|b|=3$, $a \cdot b = -5$ のとき、以下の問いに答える。

(1) $|a + tb|$ の最小値と、そのときの $t$ の値を求めよ。

(2) (1)で求めた $t$ の値 $t_1$ に対して、$a + t_1 b$ と $b$ が垂直であることを確かめよ。

2. 解き方の手順

(1)

$|a + tb|^2$ を計算する。

$|a + tb|^2 = (a + tb) \cdot (a + tb) = a \cdot a + 2t (a \cdot b) + t^2 (b \cdot b) = |a|^2 + 2t (a \cdot b) + t^2 |b|^2$

与えられた値を代入すると、

$|a + tb|^2 = 2^2 + 2t(-5) + t^2(3^2) = 4 - 10t + 9t^2 = 9t^2 - 10t + 4$

この2次関数を平方完成する。

$9t^2 - 10t + 4 = 9(t^2 - \frac{10}{9}t) + 4 = 9(t^2 - \frac{10}{9}t + (\frac{5}{9})^2) - 9(\frac{5}{9})^2 + 4 = 9(t - \frac{5}{9})^2 - \frac{25}{9} + \frac{36}{9} = 9(t - \frac{5}{9})^2 + \frac{11}{9}$

$|a + tb|^2$ の最小値は $\frac{11}{9}$ であり、そのときの $t$ の値は $\frac{5}{9}$ である。

したがって、$|a + tb|$ の最小値は $\sqrt{\frac{11}{9}} = \frac{\sqrt{11}}{3}$ である。

(2)

$t_1 = \frac{5}{9}$ のとき、$a + t_1 b$ と $b$ が垂直であることを示す。

$a + t_1 b = a + \frac{5}{9} b$ と $b$ の内積を計算する。

$(a + \frac{5}{9} b) \cdot b = a \cdot b + \frac{5}{9} (b \cdot b) = a \cdot b + \frac{5}{9} |b|^2 = -5 + \frac{5}{9} (3^2) = -5 + \frac{5}{9} (9) = -5 + 5 = 0$

内積が0なので、$a + t_1 b$ と $b$ は垂直である。

3. 最終的な答え

(1) $|a + tb|$ の最小値は $\frac{\sqrt{11}}{3}$ であり、そのときの $t$ の値は $\frac{5}{9}$ である。

(2) $a + t_1 b$ と $b$ は垂直である。