数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。以下の2つの場合について考えます。 (1) $a_1 = 4$, $a_{n+1} = a_n + 2n^2 + n$ (2) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 2^n$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。以下の2つの場合について考えます。

(1) $a_1 = 4$, $a_{n+1} = a_n + 2n^2 + n$

(2) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 2^n$

2. 解き方の手順

(1)

漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2n^2 + n$ を変形して、階差数列を考えます。

$a_{n+1} - a_n = 2n^2 + n$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k^2 + k)$

$= a_1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n^2 - n}{2}$

したがって、

$a_n = 4 + 2 \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6} + \frac{n^2 - n}{2}$

$= 4 + \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{3} + \frac{n^2 - n}{2}$

$= 4 + \frac{4n^3 - 6n^2 + 2n + 3n^2 - 3n}{6}$

$= 4 + \frac{4n^3 - 3n^2 - n}{6}$

$= \frac{24 + 4n^3 - 3n^2 - n}{6} = \frac{4n^3 - 3n^2 - n + 24}{6}$

$n=1$ のとき、 $a_1 = \frac{4(1)^3 - 3(1)^2 - (1) + 24}{6} = \frac{4 - 3 - 1 + 24}{6} = \frac{24}{6} = 4$ となり、成り立つ。

したがって、一般項は、$a_n = \frac{4n^3 - 3n^2 - n + 24}{6}$

(2)

漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2^n$ を変形して、階差数列を考えます。

$a_{n+1} - a_n = 2^n$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$

等比数列の和の公式より、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^n - 2$

したがって、

$a_n = 3 + 2^n - 2 = 2^n + 1$

$n=1$ のとき、 $a_1 = 2^1 + 1 = 2 + 1 = 3$ となり、成り立つ。

したがって、一般項は、$a_n = 2^n + 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{4n^3 - 3n^2 - n + 24}{6}$

(2) $a_n = 2^n + 1$