円 $x^2 + y^2 = 3^2$ を $x$ 軸をもとにして、以下の操作をしたときに得られる楕円の方程式を求めます。 (1) $y$ 軸方向に $\frac{2}{3}$ 倍する。 (2) $y$ 軸方向に $\frac{4}{3}$ 倍する。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 3^2$ を $x$ 軸をもとにして、以下の操作をしたときに得られる楕円の方程式を求めます。

(1) $y$ 軸方向に $\frac{2}{3}$ 倍する。

(2) $y$ 軸方向に $\frac{4}{3}$ 倍する。

2. 解き方の手順

(1) $y$ 軸方向に $\frac{2}{3}$ 倍するということは、$y$ を $\frac{3}{2}y$ で置き換えるということです。元の円の方程式 $x^2 + y^2 = 9$ に代入すると、

$$x^2 + (\frac{3}{2}y)^2 = 9$$

$$x^2 + \frac{9}{4}y^2 = 9$$

両辺を9で割ると、

$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$$

(2) $y$ 軸方向に $\frac{4}{3}$ 倍するということは、$y$ を $\frac{3}{4}y$ で置き換えるということです。元の円の方程式 $x^2 + y^2 = 9$ に代入すると、

$$x^2 + (\frac{3}{4}y)^2 = 9$$

$$x^2 + \frac{9}{16}y^2 = 9$$

両辺を9で割ると、

$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$

(2) $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$