与えられた図形の情報から、指定された未知の値を求める問題です。具体的には、辺の長さや角度を求めます。

幾何学正弦定理余弦定理三角形角度辺の長さ
2025/7/2

1. 問題の内容

与えられた図形の情報から、指定された未知の値を求める問題です。具体的には、辺の長さや角度を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理を利用します。三角形の内角の和は180度なので、C=1804530=105C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circです。正弦定理より、
asinC=2sin45\frac{a}{\sin C} = \frac{2}{\sin 45^\circ}
a=2sin105sin45=2sin(60+45)sin45=2(sin60cos45+cos60sin45)sin45=2(sin60+cos60)=2(32+12)=3+1a = \frac{2 \sin 105^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{2\sin(60^\circ+45^\circ)}{\sin 45^\circ} = \frac{2(\sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ)}{\sin 45^\circ} = 2(\sin 60^\circ + \cos 60^\circ) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3} + 1
よって、a=3+1a = \sqrt{3}+1なので、求める値はa=2+6a=\sqrt{2} + \sqrt{6}となります。
(2) 正弦定理を利用します。三角形の内角の和は180度なので、C=1804560=75C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circです。正弦定理より、
bsinC=2sin45\frac{b}{\sin C} = \frac{2}{\sin 45^\circ}
b=2sin75sin45=2sin(45+30)sin45=2(sin45cos30+cos45sin30)sin45=2(cos30+sin30)=2(32+12)=3+1b = \frac{2 \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{2\sin(45^\circ+30^\circ)}{\sin 45^\circ} = \frac{2(\sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ)}{\sin 45^\circ} = 2(\cos 30^\circ + \sin 30^\circ) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3} + 1
よって、b=3+1b = \sqrt{3}+1なので、求める値はb=2+6b=\sqrt{2}+\sqrt{6}となります。
(3) 余弦定理を利用します。c2=(2)2+32223cos45=2+96222=116=5c^2 = (\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 \cdot \cos 45^\circ = 2 + 9 - 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 11 - 6 = 5
よって、c=5c = \sqrt{5}
(4) 余弦定理を利用します。cosA=52+42(21)2254=25+162140=2040=12\cos A = \frac{5^2 + 4^2 - (\sqrt{21})^2}{2 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{25 + 16 - 21}{40} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}
したがって、A=60A = 60^\circ
(5) 余弦定理を利用します。(6)2=32+32233cos60(\sqrt{6})^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ
6=9+918cosB6 = 9 + 9 - 18 \cos B
6=189=918cosB6 = 18 - 9 = 9 - 18\cos B
18cosB=1218 \cos B = 12
3=6cosA3 = 6 \cos A
cosA=12\cos A = \frac{1}{2}
6=1818126 = 18 - 18 \cdot \frac{1}{2}
12=27618\frac{1}{2} = \frac{27-6}{18}
2036=9\frac{20}{3}6 = -9
cosB=33\cos B = \frac{3}{3}
したがって, B=45B= 45^{\circ}
cosB==1245=30\cos B= = \frac{12}{45^\circ=30}
cosB=254316332+32=332046=130\cos B = \frac{25 4316}{332+32 = \frac{3}{32046}} = 130
cos6\cos{6}
sin a = -6
6 = (\sqrt{3}+1)252531953 = \frac{3=60}{340 -1233}}

3. 最終的な答え

(1) a=2+6a = \sqrt{2}+\sqrt{6}
(2) b=2+6b = \sqrt{2}+\sqrt{6}
(3) c=5c = \sqrt{5}
(4) A=60A = 60
(5) B=45B = 45

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