円 $C$ の方程式、円 $C$ と直線 $l$ が接するときの $a$ の値、接点を通る $l$ に垂直な直線の方程式、円 $C$ と直線 $l$ が2点で交わるときの線分 $AB$ の長さ、線分 $AB$ の長さが2となる $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $C$ の方程式、円 $C$ と直線 $l$ が接するときの $a$ の値、接点を通る $l$ に垂直な直線の方程式、円 $C$ と直線 $l$ が2点で交わるときの線分 $AB$ の長さ、線分 $AB$ の長さが2となる $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C$ の方程式は、中心が (3, 1) で半径が 1 なので、

$(x-3)^2 + (y-1)^2 = 1$

これを展開すると、

$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = 1$

$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 9 = 0$

よって、円Cの方程式は、$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 9 = 0$ となり、ア=6, イ=2, ウ=9

(2) 円 $C$ と直線 $l: y=ax$ が接するとき、円の中心 (3, 1) と直線 $l: ax - y = 0$ の距離が半径 1 に等しい。点と直線の距離の公式より、

$\frac{|3a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 1$

両辺を2乗して、

$(3a - 1)^2 = a^2 + 1$

$9a^2 - 6a + 1 = a^2 + 1$

$8a^2 - 6a = 0$

$2a(4a - 3) = 0$

$a = 0, \frac{3}{4}$

よって、エ=0, オ=3/4

$a = 0$ のとき、接点は (3, 0)

$a = \frac{3}{4}$ のとき、接点は、直線 $y = \frac{3}{4} x$ と円 $C$ の交点。接点を通る $l$ に垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{a}$ である。

$a = 0$ の時、傾きは存在せず、垂直な直線は $x = 3$. よって、キク=1, ケ=0, コ= -

3. 答えは、$y=1/0*x+c$の形になりえない。

$a=3/4$ の時、接点は連立方程式を解く必要がある。

円の方程式は$(x-3)^2+(y-1)^2=1$, 直線は$y=ax$

$x=3, y=1$. 直線は $y = -\frac{4}{3}(x-3) + 1 = -\frac{4}{3}x + 5$

よって、$y = -\frac{4}{3} x + 5$。 キク=-4, ケ=3, コ=5。

(3) 円Cと直線lが異なる2点A、Bで交わるとき、2つの交点を結ぶ線分ABの長さ

$AB = 2\sqrt{r^2 - d^2}$ (rは円の半径, dは円の中心と直線との距離)

$d = \frac{|3a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}}$

$AB = 2\sqrt{1 - \frac{(3a - 1)^2}{a^2 + 1}} = 2\sqrt{\frac{a^2 + 1 - (9a^2 - 6a + 1)}{a^2 + 1}} = 2\sqrt{\frac{-8a^2 + 6a}{a^2 + 1}} = 2\sqrt{2}\sqrt{\frac{-4a^2+3a}{a^2+1}}$

問題文にヒントより、

$AB = \frac{\sqrt{a-sa^2}}{a^2+1}$. これは間違い。

$AB = 2$となるとき、$4(\frac{-8a^2 + 6a}{a^2 + 1}) = 4$. よって$\frac{-8a^2 + 6a}{a^2 + 1} = 1$

$-8a^2+6a=a^2+1$

$9a^2-6a+1=0$. よって$(3a-1)^2=0$, $a=1/3$

よって、$\frac{\sqrt{サ}}{a^2+1}\frac{\sqrt{-8a^2 + 6a}}{\sqrt{a^2+1}}$を求める

ヒントより、$AB=\frac{2\sqrt{1-a^2}}{a^2+1}=2$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 - 6x - 2y + 9 = 0$、ア = 6、イ = 2、ウ = 9

(2) $a = 0, \frac{3}{4}$、エ = 0、オ = 3/4、$y = -\frac{4}{3} x + 5$、キク = -4、ケ = 3、コ = 5

(3) $AB = \frac{2\sqrt{2} \sqrt{-4a^2 + 3a}}{\sqrt{a^2 + 1}}$、$a = \frac{1}{3}$、セ = 1/3、ソ=1/3

サ=$2$, シ=$1$, ス=$a^2$

$a=1/3$