(1) 直線 $y = m(x-1) + 2$ と円 $x^2 + y^2 = 1$ が接するような定数 $m$ の値を求めます。 (2) 点 $(1, 2)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 1$ に接する直線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

(1) 直線 $y = m(x-1) + 2$ と円 $x^2 + y^2 = 1$ が接するような定数 $m$ の値を求めます。

(2) 点 $(1, 2)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 1$ に接する直線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線と円が接するためには、直線と円の中心との距離が円の半径と等しくなる必要があります。

円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $1$ です。

直線 $y = m(x-1) + 2$ は $mx - y - m + 2 = 0$ と書き換えられます。

点 $(0, 0)$ と直線 $mx - y - m + 2 = 0$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式を用いて

$$d = \frac{|m(0) - (0) - m + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|-m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}}$$

$d = 1$ となる $m$ を求めます。

$$\frac{|-m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1$$

両辺を2乗して

$$(-m + 2)^2 = m^2 + 1$$

$$m^2 - 4m + 4 = m^2 + 1$$

$$-4m = -3$$

$$m = \frac{3}{4}$$

(2) 点 $(1, 2)$ を通る直線の式を $y - 2 = m(x - 1)$ とおきます。つまり $y = mx - m + 2$ です。変形すると $mx - y - m + 2 = 0$ となります。

円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は $(0, 0)$ であり、半径は $1$ です。点 $(0, 0)$ と直線 $mx - y - m + 2 = 0$ の距離 $d$ は、

$$d = \frac{|m(0) - (0) - m + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|-m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}}$$

$d = 1$ となる $m$ を求めます。 これは(1)と同じ式になるので、$m = \frac{3}{4}$となります。

直線の方程式は $y - 2 = \frac{3}{4}(x - 1)$ です。

$4y - 8 = 3x - 3$

$3x - 4y + 5 = 0$

また、点 $(1, 2)$ を通る直線で傾きがない場合、$x = 1$ という直線になります。この直線と円 $x^2 + y^2 = 1$ との交点は $(1, 0)$ となり、接します。

3. 最終的な答え

(1) $m = \frac{3}{4}$

(2) $3x - 4y + 5 = 0$ と $x = 1$