点Qが直線 $y = x + 2$ 上を動くとき、点A(1, 6) と点Qを結ぶ線分 AQ を 2:1 に内分する点Pの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

点Qが直線 $y = x + 2$ 上を動くとき、点A(1, 6) と点Qを結ぶ線分 AQ を 2:1 に内分する点Pの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

点Pの座標を $(x, y)$ とし、点Qの座標を $(s, t)$ とする。

点Qは直線 $y = x + 2$ 上の点なので、

$t = s + 2$ が成り立つ。

点Pは線分 AQ を 2:1 に内分するので、内分点の公式より、

$x = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot s}{2 + 1} = \frac{1 + 2s}{3}$

$y = \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot t}{2 + 1} = \frac{6 + 2t}{3}$

これらの式を $s$ と $t$ について解くと、

$3x = 1 + 2s$ より $2s = 3x - 1$ だから $s = \frac{3x - 1}{2}$

$3y = 6 + 2t$ より $2t = 3y - 6$ だから $t = \frac{3y - 6}{2}$

$t = s + 2$ に $s$ と $t$ の式を代入すると、

$\frac{3y - 6}{2} = \frac{3x - 1}{2} + 2$

両辺に 2 を掛けて、

$3y - 6 = 3x - 1 + 4$

$3y = 3x + 9$

$y = x + 3$

3. 最終的な答え

点Pの軌跡は直線 $y = x + 3$ である。