問題は、三角比の値を求める問題、三角比の相互関係を利用して値を求める問題、角度の変換を行う問題、三角形の辺の長さや角度、面積などを求める問題から構成されています。

1. 問題の内容

問題は、三角比の値を求める問題、三角比の相互関係を利用して値を求める問題、角度の変換を行う問題、三角形の辺の長さや角度、面積などを求める問題から構成されています。

2. 解き方の手順

**[1] 三角比の表**

* $sin 0^\circ = 0$ (ア)

* $cos 0^\circ = 1$ (ケ)

* $tan 0^\circ = 0$ (ア)

* $sin 90^\circ = 1$ (ケ)

* $cos 90^\circ = 0$ (ア)

* $tan 90^\circ$ は定義できない (ス)

* $sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (エ)

* $cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ (イ)

* $tan 120^\circ = -\sqrt{3}$ (コ)

* $sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (キ)

* $cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ (ウ)

* $tan 135^\circ = -1$ (オ)

* $sin 150^\circ = \frac{1}{2}$ (カ)

* $cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (エ)

* $tan 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ (シ)

* $sin 180^\circ = 0$ (ア)

* $cos 180^\circ = -1$ (オ)

* $tan 180^\circ = 0$ (ア)

**[2] 三角比の相互関係**

$90^\circ < A < 180^\circ$ で $sin A = \frac{3}{5}$ のとき、

(1) $sin^2 A = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$

(2) $cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$cos A < 0$ なので $cos A = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$

(3) $tan A = \frac{sin A}{cos A} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$

(4) $sin(180^\circ - A) = sin A = \frac{3}{5}$

(5) $tan(180^\circ - A) = -tan A = - (-\frac{3}{4}) = \frac{3}{4}$

**[3] 角度の変換**

(1) $sin 70^\circ = cos(90^\circ - 70^\circ) = cos 20^\circ$

(2) $cos 81^\circ = sin(90^\circ - 81^\circ) = sin 9^\circ$

(3) $tan 73^\circ = \frac{1}{tan(90^\circ - 73^\circ)} = \frac{1}{tan 17^\circ}$

(4) $sin 170^\circ = sin(180^\circ - 170^\circ) = sin 10^\circ$

(5) $cos 165^\circ = -cos(180^\circ - 165^\circ) = -cos 15^\circ$

(6) $tan 175^\circ = -tan(180^\circ - 175^\circ) = -tan 5^\circ$

(7) $sin 100^\circ = cos(90^\circ - (180^\circ-100^\circ)) = cos(90^\circ - 80^\circ) = cos 10^\circ$

**[4] 三角形の計算**

与えられた三角形ABCにおいて、AB = 2, BC = 1, AC = $\sqrt{7}$ である。

(1) 余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos B$

$7 = 4 + 1 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot cos B$

$2 = -4 cos B$

$cos B = -\frac{1}{2}$

(2) $cos B = -\frac{1}{2}$ より $B = 120^\circ$

(3) $sin B = sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(4) $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sin B = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(5) 正弦定理より、

$\frac{BC}{sin A} = \frac{AC}{sin B}$

$\frac{1}{sin A} = \frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$sin A = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$

(6) 正弦定理より、

$2R = \frac{AC}{sin B}$

$2R = \frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$

$R = \frac{\sqrt{21}}{3}$

3. 最終的な答え

**[1]**

1. ア

2. ケ

3. ア

4. ケ

5. ア

6. ス

7. エ

8. イ

9. コ

1

0. キ

1

1. ウ

1

2. オ

1

3. カ

1

4. エ

1

5. シ

1

6. ア

1

7. オ

1

8. ア

**[2]**

(1) 9/25

(2) -4/5

(3) -3/4

(4) 3/5

(5) 3/4

**[3]**

(1) 20

(2) 9

(3) 17

(4) 10

(5) 15

(6) 5

(7) 10

**[4]**

(1) -1/2

(2) 120

(3) $\sqrt{3}/2$

(4) $\sqrt{3}/2$

(5) $\sqrt{21}/14$

(6) $\sqrt{21}/3$