(1) 次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。 (ア) $2x^2 - 4x + 1 = 0$ (イ) $x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 0$ (2) 2次方程式 $x^2 + 3x + a = 0$ について (ア) 方程式①が実数解をもつように、定数 $a$ の値の範囲を定めよ。 (イ) 方程式①が重解をもつように、定数 $a$ の値を定めよ。また、そのときの重解を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。

(ア) $2x^2 - 4x + 1 = 0$

(イ) $x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 0$

(2) 2次方程式 $x^2 + 3x + a = 0$ について

(ア) 方程式①が実数解をもつように、定数 $a$ の値の範囲を定めよ。

(イ) 方程式①が重解をもつように、定数 $a$ の値を定めよ。また、そのときの重解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式の実数解の個数は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ によって決まる。

(ア) $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の場合、$a = 2, b = -4, c = 1$ より、判別式 $D = (-4)^2 - 4(2)(1) = 16 - 8 = 8 > 0$ なので、実数解は2個である。

(イ) $x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 0$ の場合、$a = 1, b = -2\sqrt{2}, c = 2$ より、判別式 $D = (-2\sqrt{2})^2 - 4(1)(2) = 8 - 8 = 0$ なので、実数解は1個（重解）である。

(2) 2次方程式 $x^2 + 3x + a = 0$ について

(ア) 実数解をもつ条件は、判別式 $D \geq 0$ である。$a = 1, b = 3, c = a$ より、$D = 3^2 - 4(1)(a) = 9 - 4a \geq 0$。よって、$4a \leq 9$ より、$a \leq \frac{9}{4}$。

(イ) 重解をもつ条件は、判別式 $D = 0$ である。$9 - 4a = 0$ より、$a = \frac{9}{4}$。このとき、方程式は $x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 0$ となり、$(x + \frac{3}{2})^2 = 0$。したがって、重解は $x = -\frac{3}{2}$。

3. 最終的な答え

(1)

(ア) 実数解の個数：2個

(イ) 実数解の個数：1個

(2)

(ア) $a \leq \frac{9}{4}$

(イ) $a = \frac{9}{4}$、重解 $x = -\frac{3}{2}$