$\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{3}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $\sin\theta \cos\theta$ (2) $\sin^3\theta - \cos^3\theta$

1. 問題の内容

$\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{3}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $\sin\theta \cos\theta$

(2) $\sin^3\theta - \cos^3\theta$

2. 解き方の手順

(1) $\sin\theta \cos\theta$ を求める。

与えられた式 $\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{3}$ の両辺を2乗する。

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = (\frac{1}{3})^2$

$\sin^2\theta - 2\sin\theta \cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{9}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta - 2\sin\theta \cos\theta = \frac{1}{9}$

三角関数の公式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いると、

$1 - 2\sin\theta \cos\theta = \frac{1}{9}$

$2\sin\theta \cos\theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin\theta \cos\theta = \frac{8}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{9}$

(2) $\sin^3\theta - \cos^3\theta$ を求める。

$\sin^3\theta - \cos^3\theta$ を因数分解すると、

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = (\sin\theta - \cos\theta)(\sin^2\theta + \sin\theta \cos\theta + \cos^2\theta)$

$= (\sin\theta - \cos\theta)(\sin^2\theta + \cos^2\theta + \sin\theta \cos\theta)$

$\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{3}$ と $\sin\theta \cos\theta = \frac{4}{9}$ と $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を代入すると、

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = (\frac{1}{3})(1 + \frac{4}{9})$

$= (\frac{1}{3})(\frac{9}{9} + \frac{4}{9})$

$= (\frac{1}{3})(\frac{13}{9})$

$= \frac{13}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin\theta \cos\theta = \frac{4}{9}$

(2) $\sin^3\theta - \cos^3\theta = \frac{13}{27}$