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与えられた数式を簡略化します。 問題は次のとおりです。 $\frac{x^2+1}{x+1} + \frac{x+1}{x+2} - \frac{x^2-1}{x}$

代数学式の簡略化分数式因数分解代数計算
2025/7/1

1. 問題の内容

与えられた数式を簡略化します。 問題は次のとおりです。
x2+1x+1+x+1x+2−x2−1x\frac{x^2+1}{x+1} + \frac{x+1}{x+2} - \frac{x^2-1}{x}

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を分解します。
x2+1x+1+x+1x+2−x2−1x\frac{x^2+1}{x+1} + \frac{x+1}{x+2} - \frac{x^2-1}{x}
第3項を因数分解します。 x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x-1)(x+1)
x2+1x+1+x+1x+2−(x−1)(x+1)x\frac{x^2+1}{x+1} + \frac{x+1}{x+2} - \frac{(x-1)(x+1)}{x}
共通分母は x(x+1)(x+2)x(x+1)(x+2) です。 全ての項を共通分母で書き換えます。
x(x2+1)(x+2)x(x+1)(x+2)+x(x+1)(x+1)x(x+1)(x+2)−(x−1)(x+1)(x+2)(x+1)x(x+1)(x+2)\frac{x(x^2+1)(x+2)}{x(x+1)(x+2)} + \frac{x(x+1)(x+1)}{x(x+1)(x+2)} - \frac{(x-1)(x+1)(x+2)(x+1)}{x(x+1)(x+2)}
分子を展開して整理します。
x(x3+2x2+x+2)x(x+1)(x+2)+x(x2+2x+1)x(x+1)(x+2)−(x−1)(x+1)(x2+3x+2)x(x+1)(x+2)\frac{x(x^3+2x^2+x+2)}{x(x+1)(x+2)} + \frac{x(x^2+2x+1)}{x(x+1)(x+2)} - \frac{(x-1)(x+1)(x^2+3x+2)}{x(x+1)(x+2)}
x4+2x3+x2+2xx(x+1)(x+2)+x3+2x2+xx(x+1)(x+2)−(x2−1)(x2+3x+2)x(x+1)(x+2)\frac{x^4+2x^3+x^2+2x}{x(x+1)(x+2)} + \frac{x^3+2x^2+x}{x(x+1)(x+2)} - \frac{(x^2-1)(x^2+3x+2)}{x(x+1)(x+2)}
x4+2x3+x2+2xx(x+1)(x+2)+x3+2x2+xx(x+1)(x+2)−x4+3x3+2x2−x2−3x−2x(x+1)(x+2)\frac{x^4+2x^3+x^2+2x}{x(x+1)(x+2)} + \frac{x^3+2x^2+x}{x(x+1)(x+2)} - \frac{x^4+3x^3+2x^2-x^2-3x-2}{x(x+1)(x+2)}
x4+2x3+x2+2xx(x+1)(x+2)+x3+2x2+xx(x+1)(x+2)−x4+3x3+x2−3x−2x(x+1)(x+2)\frac{x^4+2x^3+x^2+2x}{x(x+1)(x+2)} + \frac{x^3+2x^2+x}{x(x+1)(x+2)} - \frac{x^4+3x^3+x^2-3x-2}{x(x+1)(x+2)}
x4+2x3+x2+2x+x3+2x2+x−x4−3x3−x2+3x+2x(x+1)(x+2)\frac{x^4+2x^3+x^2+2x + x^3+2x^2+x - x^4-3x^3-x^2+3x+2}{x(x+1)(x+2)}
(x4−x4)+(2x3+x3−3x3)+(x2+2x2−x2)+(2x+x+3x)+2x(x+1)(x+2)\frac{(x^4 - x^4) + (2x^3 + x^3 - 3x^3) + (x^2 + 2x^2 - x^2) + (2x + x + 3x) + 2}{x(x+1)(x+2)}
2x2+6x+2x(x+1)(x+2)\frac{2x^2+6x+2}{x(x+1)(x+2)}
2(x2+3x+1)x(x+1)(x+2)\frac{2(x^2+3x+1)}{x(x+1)(x+2)}

3. 最終的な答え

2(x2+3x+1)x(x+1)(x+2)\frac{2(x^2+3x+1)}{x(x+1)(x+2)}

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