複素数 $z = 2 - 3i$ について、以下の2つの問題を解く。 (1) $z$ を原点を中心に $-\frac{\pi}{4}$ 回転させた点を求める。 (2) $z$ を $1 - i$ を中心に $\frac{\pi}{3}$ 回転させた点を求める。

1. 問題の内容

複素数 $z = 2 - 3i$ について、以下の2つの問題を解く。

(1) $z$ を原点を中心に $-\frac{\pi}{4}$ 回転させた点を求める。

(2) $z$ を $1 - i$ を中心に $\frac{\pi}{3}$ 回転させた点を求める。

2. 解き方の手順

(1) 複素数 $z$ を原点を中心に $\theta$ 回転させることは、$z$ に $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を掛けることに相当する。

ここでは、$\theta = -\frac{\pi}{4}$ なので、回転させる複素数は $e^{-i\frac{\pi}{4}} = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる。

したがって、求める点は $(2 - 3i)(\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}}i - \frac{3}{\sqrt{2}}i - \frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{5}{\sqrt{2}}i = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{5\sqrt{2}}{2}i$ となる。

(2) 複素数 $z$ を $w$ を中心に $\theta$ 回転させるには、$z - w$ を $\theta$ 回転させ、$w$ を足せばよい。つまり、$(z - w)e^{i\theta} + w$ を計算する。

ここでは、$z = 2 - 3i$, $w = 1 - i$, $\theta = \frac{\pi}{3}$ なので、

$z - w = (2 - 3i) - (1 - i) = 1 - 2i$

$e^{i\frac{\pi}{3}} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$(z - w)e^{i\theta} = (1 - 2i)(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} - i - 2i^2\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} - i + \sqrt{3} = \frac{1}{2} + \sqrt{3} + i(\frac{\sqrt{3}}{2} - 1)$

したがって、求める点は

$(1 - 2i)(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) + (1 - i) = (\frac{1}{2} + \sqrt{3} + i(\frac{\sqrt{3}}{2} - 1)) + (1 - i) = \frac{3}{2} + \sqrt{3} + i(\frac{\sqrt{3}}{2} - 2)$

となる。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{5\sqrt{2}}{2}i$

(2) $\frac{3}{2} + \sqrt{3} + (\frac{\sqrt{3}}{2} - 2)i$