袋の中に赤玉と白玉が合わせて8個入っている。この袋から同時に2個の玉を取り出すとき、赤玉と白玉が1個ずつ出る確率が $\frac{3}{7}$ である。赤玉の個数を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉と白玉が合わせて8個入っている。この袋から同時に2個の玉を取り出すとき、赤玉と白玉が1個ずつ出る確率が $\frac{3}{7}$ である。赤玉の個数を求める。

2. 解き方の手順

赤玉の個数を $x$ とすると、白玉の個数は $8-x$ となる。

2個の玉を取り出す方法は全部で ${}_8 C_2$ 通りである。

赤玉と白玉を1個ずつ取り出す方法は ${}_x C_1 \times {}_{8-x} C_1 = x(8-x)$ 通りである。

したがって、赤玉と白玉を1個ずつ取り出す確率は $\frac{x(8-x)}{{}_8 C_2} = \frac{3}{7}$ となる。

${}_8 C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

よって、$\frac{x(8-x)}{28} = \frac{3}{7}$

$x(8-x) = \frac{3}{7} \times 28$

$8x - x^2 = 12$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

$(x-2)(x-6) = 0$

$x=2$ または $x=6$

$x=2$ のとき、赤玉の個数は2個、白玉の個数は6個。

$x=6$ のとき、赤玉の個数は6個、白玉の個数は2個。

どちらの場合でも問題の条件を満たす。問題文に個数の指定がないので、どちらでも良い。

3. 最終的な答え

赤玉の個数は2個または6個