問題3は、長さ120cmの針金を折り曲げて長方形を作る問題です。長方形の縦の長さを$x$ cm、面積を$y$ cm$^2$、横の長さを$z$ cmとするとき、以下の問いに答えます。 (1) $z$と$x$の関係を等式で表す。 (2) $z>0$、$x>0$に注目して、$x$の定義域を不等式で表す。 (3) $y$を$x$の式で表す。 (4) $y$の最大値を求める。 問題4は、与えられた不等式を解く問題です。(1)から(12)までの12個の不等式を解きます。

はい、了解しました。問題文を読んで、丁寧に解答を作成します。

1. 問題の内容

問題3は、長さ120cmの針金を折り曲げて長方形を作る問題です。長方形の縦の長さを$x$ cm、面積を$y$ cm$^2$、横の長さを$z$ cmとするとき、以下の問いに答えます。

(1) $z$と$x$の関係を等式で表す。

(2) $z>0$、$x>0$に注目して、$x$の定義域を不等式で表す。

(3) $y$を$x$の式で表す。

(4) $y$の最大値を求める。

問題4は、与えられた不等式を解く問題です。(1)から(12)までの12個の不等式を解きます。

2. 解き方の手順

問題3

(1) 長方形の周の長さは120cmなので、$2x + 2z = 120$となります。これを$z$について解くと、$z = 60 - x$です。

(2) $z>0$、$x>0$より、$60 - x > 0$、$x > 0$です。よって、$0 < x < 60$となります。

(3) 長方形の面積$y$は、$y = xz = x(60 - x) = -x^2 + 60x$です。

(4) $y = -x^2 + 60x = -(x^2 - 60x) = -(x^2 - 60x + 900 - 900) = -(x - 30)^2 + 900$です。

$y$は上に凸の二次関数なので、頂点で最大値をとります。頂点の$x$座標は$x=30$であり、$0 < x < 60$を満たします。

よって、$y$の最大値は$900$です。

問題4

(1) $(x - 1)(x - 4) < 0$。1 < x < 4。

(2) $(x - 3)(x + 4) > 0$。x < -4, 3 < x。

(3) $-(x - 1)(x + 4) > 0$。$(x - 1)(x + 4) < 0$。-4 < x < 1。

(4) $-(x - 1)(x - 2) < 0$。$(x - 1)(x - 2) > 0$。x < 1, 2 < x。

(5) $x^2 + 8x + 7 > 0$。(x + 1)(x + 7) > 0。x < -7, -1 < x。

(6) $(x - 1)^2 \leq 0$。x = 1。

(7) $(x - 1)^2 > 0$。x ≠ 1。

(8) $(x - 1)^2 \geq 0$。すべての実数。

(9) $-x^2 - 7x + 18 \leq 0$。$x^2 + 7x - 18 \geq 0$。(x + 9)(x - 2) \geq 0。x ≤ -9, 2 ≤ x。

(10) $x^2 + 5 > 0$。すべての実数。

(11) $x^2 - 4 < 0$。(x - 2)(x + 2) < 0。-2 < x < 2。

(12) $x^2 \leq 81$。-9 ≤ x ≤ 9。

3. 最終的な答え

問題3

(1) $z = 60 - x$

(2) $0 < x < 60$

(3) $y = -x^2 + 60x$

(4) $900$

問題4

(1) 1 < x < 4

(2) x < -4, 3 < x

(3) -4 < x < 1

(4) x < 1, 2 < x

(5) x < -7, -1 < x

(6) x = 1

(7) x ≠ 1

(8) すべての実数

(9) x ≤ -9, 2 ≤ x

(10) すべての実数

(11) -2 < x < 2

(12) -9 ≤ x ≤ 9