次の和 $S$ を求めます。 $S = \frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{7 \times 10} + \cdots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = \frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{7 \times 10} + \cdots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

2. 解き方の手順

この和は部分分数分解を利用して計算できます。各項を次のように分解します。

$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{A}{3k-2} + \frac{B}{3k+1}$

両辺に $(3k-2)(3k+1)$ を掛けると、

$1 = A(3k+1) + B(3k-2)$

$1 = (3A + 3B)k + (A - 2B)$

この式が任意の $k$ に対して成り立つためには、以下の連立方程式が成り立つ必要があります。

$3A + 3B = 0$

$A - 2B = 1$

最初の式から $A = -B$ が得られます。これを2番目の式に代入すると、

$-B - 2B = 1$

$-3B = 1$

$B = -\frac{1}{3}$

したがって、$A = \frac{1}{3}$ です。

よって、

$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right)$

これを用いて、$S$ を計算します。

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right)$

$S = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right)$

$S = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right) \right]$

この和は telescoping sum と呼ばれるもので、多くの項が打ち消しあいます。

$S = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3n+1} \right)$

$S = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+1 - 1}{3n+1} \right)$

$S = \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{3n+1} \right)$

$S = \frac{n}{3n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{3n+1}$