与えられた行列式の因数分解を求める問題です。行列式は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 & a^3 \\ 1 & b & b^2 & b^3 \\ 1 & c & c^2 & c^3 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列式の因数分解を求める問題です。行列式は以下の通りです。

$ \begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & a & a^2 & a^3 \\

1 & b & b^2 & b^3 \\

1 & c & c^2 & c^3

\end{vmatrix} $

2. 解き方の手順

与えられた行列式を$D$とします。

$D = \begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & a & a^2 & a^3 \\

1 & b & b^2 & b^3 \\

1 & c & c^2 & c^3

\end{vmatrix}$

第1列を基準にして、第2, 3, 4行から第1行を引きます。

$D = \begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

0 & a-1 & a^2-1 & a^3-1 \\

0 & b-1 & b^2-1 & b^3-1 \\

0 & c-1 & c^2-1 & c^3-1

\end{vmatrix}$

第1行に関する余因子展開を行います。

$D = \begin{vmatrix}

a-1 & a^2-1 & a^3-1 \\

b-1 & b^2-1 & b^3-1 \\

c-1 & c^2-1 & c^3-1

\end{vmatrix}$

各列について、因数分解を行います。$a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$, $a^3 - 1 = (a-1)(a^2+a+1)$ などです。

$D = \begin{vmatrix}

a-1 & (a-1)(a+1) & (a-1)(a^2+a+1) \\

b-1 & (b-1)(b+1) & (b-1)(b^2+b+1) \\

c-1 & (c-1)(c+1) & (c-1)(c^2+c+1)

\end{vmatrix}$

第1列から$(a-1)$, $(b-1)$, $(c-1)$を、第2列から$(a-1)$, $(b-1)$, $(c-1)$をくくりだします。すると、

$D = (a-1)(b-1)(c-1) \begin{vmatrix}

1 & a+1 & a^2+a+1 \\

1 & b+1 & b^2+b+1 \\

1 & c+1 & c^2+c+1

\end{vmatrix}$

さらに、第2行から第1行を、第3行から第1行を引きます。

$D = (a-1)(b-1)(c-1) \begin{vmatrix}

1 & a+1 & a^2+a+1 \\

0 & b-a & b^2-a^2+b-a \\

0 & c-a & c^2-a^2+c-a

\end{vmatrix}$

$D = (a-1)(b-1)(c-1) \begin{vmatrix}

b-a & (b-a)(b+a+1) \\

c-a & (c-a)(c+a+1)

\end{vmatrix}$

$D = (a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a) \begin{vmatrix}

1 & b+a+1 \\

1 & c+a+1

\end{vmatrix}$

$D = (a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)(c-b)$

$D = (b-a)(c-a)(c-b)(a-1)(b-1)(c-1)$

しかし、これは3次のヴァンデルモンドの行列ではないので、別の方法で考えます。元の行列式は4次のヴァンデルモンドの行列式なので、

$ D = \begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & a & b & c \\

1 & a^2 & b^2 & c^2 \\

1 & a^3 & b^3 & c^3

\end{vmatrix} = (a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)(c-b)$

より，$D = (a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)(c-b)$

3. 最終的な答え

$(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)(c-b)$