与えられた対数方程式について、$x$の値を求める問題です。具体的には、次の6つの問題を解きます。 1. $\log_3 27 = x$

1. 問題の内容

与えられた対数方程式について、$x$の値を求める問題です。具体的には、次の6つの問題を解きます。

1. $\log_3 27 = x$

2. $\log_{2x} 16 = 2$

3. $\log_x 25 = 2$

4. $\log_3 x = 4$

5. $2\log_2(2x) = 8$

6. $\log(x-3) = -1$（底が明示されていないので常用対数とみなします）

2. 解き方の手順

各問題について、$x$を求める手順を説明します。

1. $\log_3 27 = x$

対数の定義より、$3^x = 27$です。$27 = 3^3$なので、$x = 3$となります。

2. $\log_{2x} 16 = 2$

対数の定義より、$(2x)^2 = 16$です。したがって、$4x^2 = 16$となり、$x^2 = 4$です。よって、$x = \pm 2$ですが、対数の底は正である必要があるため、$2x > 0$かつ$2x \neq 1$でなければなりません。$x=-2$は$2x>0$を満たさないため不適、$x=2$は$2x=4>0$かつ$2x=4 \neq 1$を満たすため、$x=2$が解となります。

3. $\log_x 25 = 2$

対数の定義より、$x^2 = 25$です。したがって、$x = \pm 5$となりますが、対数の底は正で1でない必要があるため、$x>0$かつ$x \neq 1$でなければなりません。$x=-5$は$x>0$を満たさないため不適、$x=5$は$x>0$かつ$x \neq 1$を満たすため、$x=5$が解となります。

4. $\log_3 x = 4$

対数の定義より、$3^4 = x$です。したがって、$x = 81$となります。

5. $2\log_2(2x) = 8$

まず両辺を2で割って、$\log_2(2x) = 4$とします。

対数の定義より、$2x = 2^4$です。したがって、$2x = 16$となり、$x = 8$となります。

6. $\log(x-3) = -1$

底が明示されていないので常用対数とみなします。つまり$\log_{10}(x-3) = -1$ということです。対数の定義より、$x-3 = 10^{-1}$です。したがって、$x-3 = \frac{1}{10}$となり、$x = 3 + \frac{1}{10} = \frac{31}{10} = 3.1$となります。

3. 最終的な答え

1. $x = 3$

2. $x = 2$

3. $x = 5$

4. $x = 81$

5. $x = 8$

6. $x = \frac{31}{10}$ ($x=3.1$)