与えられた指数関数の逆関数である対数関数を求めます。具体的には、以下の4つの関数について逆関数を求めます。 1. $y = 2^x$

1. 問題の内容

与えられた指数関数の逆関数である対数関数を求めます。具体的には、以下の4つの関数について逆関数を求めます。

1. $y = 2^x$

2. $y = 3^{x+1}$

3. $y = 3^x + 1$

4. $y = 3 \cdot 2^{2x} - 1$

2. 解き方の手順

逆関数を求める一般的な手順は次の通りです。

1. $x$ と $y$ を入れ替える。

2. $y$ について解く。

3. $y = 2^x$ の逆関数

$x$ と $y$ を入れ替えます：

$x = 2^y$

$y$ について解きます：

$y = \log_2 x$

4. $y = 3^{x+1}$ の逆関数

$x$ と $y$ を入れ替えます：

$x = 3^{y+1}$

$y$ について解きます：

$\log_3 x = y + 1$

$y = \log_3 x - 1$

5. $y = 3^x + 1$ の逆関数

$x$ と $y$ を入れ替えます：

$x = 3^y + 1$

$y$ について解きます：

$x - 1 = 3^y$

$y = \log_3 (x-1)$

6. $y = 3 \cdot 2^{2x} - 1$ の逆関数

$x$ と $y$ を入れ替えます：

$x = 3 \cdot 2^{2y} - 1$

$y$ について解きます：

$x + 1 = 3 \cdot 2^{2y}$

$\frac{x+1}{3} = 2^{2y}$

$\log_2 \left(\frac{x+1}{3}\right) = 2y$

$y = \frac{1}{2} \log_2 \left(\frac{x+1}{3}\right)$

3. 最終的な答え

1. $y = \log_2 x$

2. $y = \log_3 x - 1$

3. $y = \log_3 (x-1)$

4. $y = \frac{1}{2} \log_2 \left(\frac{x+1}{3}\right)$