画像に写っている問題のうち、5番目の問題を解きます。 問題: 放物線 $y = x^2 + 4x + C$ ($-3 \le x \le 2$) の最大値が 3 であるとき、定数 $C$ の値を求めよ。また、その最小値を求めよ。

## 問題の回答

1. 問題の内容

画像に写っている問題のうち、5番目の問題を解きます。

問題:

放物線 $y = x^2 + 4x + C$ ($-3 \le x \le 2$) の最大値が 3 であるとき、定数 $C$ の値を求めよ。また、その最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた放物線を平方完成します。

$y = x^2 + 4x + C = (x+2)^2 - 4 + C$

頂点の座標は $(-2, -4+C)$ です。

定義域 $-3 \le x \le 2$ 内に $x = -2$ が含まれています。

軸 $x=-2$ は定義域の中にあるため、$x=-2$ で最小値をとります。

定義域 $-3 \le x \le 2$ の端点における $y$ の値を調べます。

$x=-3$ のとき、$y = (-3)^2 + 4(-3) + C = 9 - 12 + C = -3 + C$

$x=2$ のとき、$y = (2)^2 + 4(2) + C = 4 + 8 + C = 12 + C$

$12+C > -3+C$ なので、$x=2$ のとき最大値をとります。

最大値が 3 なので、

$12 + C = 3$

$C = 3 - 12 = -9$

したがって、$C = -9$ です。

最小値は、頂点の $y$ 座標で与えられます。

$-4 + C = -4 + (-9) = -13$

3. 最終的な答え

$C = -9$

最小値: $-13$