$x>0$において、関数$f(x) = x^2 \log x$の最小値を求めます。ここで、$\log$は自然対数を意味します。

## 問題5

1. 問題の内容

$x>0$において、関数$f(x) = x^2 \log x$の最小値を求めます。ここで、$\log$は自然対数を意味します。

2. 解き方の手順

関数の最小値を求めるために、まず導関数を計算し、それが0となる点を求めます。

まず、$f(x) = x^2 \log x$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。積の微分法則を用いると、

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f'(x) = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)

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$f'(x) = 0$ となる $x$ を探します。$x>0$なので、$x \neq 0$ であることに注意すると、

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2 \log x + 1 = 0

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\log x = -\frac{1}{2}

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x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}

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次に、$x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ の前後で $f'(x)$ の符号がどう変化するかを調べます。

$0 < x < \frac{1}{\sqrt{e}}$ のとき、$2 \log x + 1 < 0$ なので、$f'(x) < 0$ です。

$x > \frac{1}{\sqrt{e}}$ のとき、$2 \log x + 1 > 0$ なので、$f'(x) > 0$ です。

したがって、$x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ で $f(x)$ は極小値をとり、この場合それが最小値となります。

最小値は

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f\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)^2 \log\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \frac{1}{e} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2e}

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3. 最終的な答え

最小値: $-\frac{1}{2e}$

## 問題6

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x^2}{4+x^2}$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求めるために、まず導関数を計算し、それが0となる点を求めます。その後、関数の定義域や極限を考慮して最大値と最小値を決定します。

まず、$f(x) = \frac{x^2}{4+x^2}$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。商の微分法則を用いると、

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f'(x) = \frac{(2x)(4+x^2) - x^2(2x)}{(4+x^2)^2} = \frac{8x+2x^3-2x^3}{(4+x^2)^2} = \frac{8x}{(4+x^2)^2}

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$f'(x) = 0$ となる $x$ を探します。

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\frac{8x}{(4+x^2)^2} = 0

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これは $x=0$ のときのみ成り立ちます。

次に、$x = 0$ の前後で $f'(x)$ の符号がどう変化するかを調べます。

$x < 0$ のとき、$f'(x) < 0$ です。

$x > 0$ のとき、$f'(x) > 0$ です。

したがって、$x = 0$ で $f(x)$ は極小値をとります。

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f(0) = \frac{0^2}{4+0^2} = 0

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また、$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to 1$ となります。

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\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{4+x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{4}{x^2}+1} = 1

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$x \to -\infty$ のときも、$f(x) \to 1$ となります。

したがって、$f(x)$ は $x=0$ で最小値0をとり、最大値は1に限りなく近づきますが、1そのものの値はとりません。

3. 最終的な答え

最小値: 0

最大値: 1 (ただし、1は関数の値域に含まれません)

あるいは、上限は1ですが、最大値は存在しないと表現することもできます。

ここでは上限を最大値として扱います。

最小値: 0

最大値: 1