$x > 0$において、関数 $f(x) = x^2 \log x$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$x > 0$において、関数 $f(x) = x^2 \log x$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = x^2 \log x$ の最小値を求めるために、微分を用いて増減を調べます。

まず、$f(x)$ を $x$ で微分します。積の微分公式を用いると、

$f'(x) = (x^2)' \log x + x^2 (\log x)' = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。$x > 0$ なので、$x \neq 0$ であることに注意すると、

$x(2 \log x + 1) = 0$ より、$2 \log x + 1 = 0$ となります。

$2 \log x = -1$

$\log x = -\frac{1}{2}$

$x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

次に、$f'(x)$ の符号を調べます。

$x < \frac{1}{\sqrt{e}}$ のとき、$2 \log x + 1 < 0$ なので、$f'(x) < 0$

$x > \frac{1}{\sqrt{e}}$ のとき、$2 \log x + 1 > 0$ なので、$f'(x) > 0$

したがって、$x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ で $f(x)$ は極小値をとり、かつ最小値をとります。

最小値を計算します。

$f\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)^2 \log\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \frac{1}{e} \log(e^{-\frac{1}{2}}) = \frac{1}{e} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2e}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2e}$