## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の4つの関数の微分を計算します。

1. $\left(\frac{3+x}{3-x}\right)'$

2. $\left(\frac{\ln|x|}{x}\right)'$

3. $(\tan x)'$

4. $\left(\frac{e^x}{x}\right)'$

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2. 解き方の手順

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1. $\left(\frac{3+x}{3-x}\right)'$**

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

$u = 3+x$, $v = 3-x$ とすると、$u' = 1$, $v' = -1$ です。

したがって、

$\left(\frac{3+x}{3-x}\right)' = \frac{1 \cdot (3-x) - (3+x) \cdot (-1)}{(3-x)^2}$

$= \frac{3-x + 3+x}{(3-x)^2}$

$= \frac{6}{(3-x)^2}$

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2. $\left(\frac{\ln|x|}{x}\right)'$**

再び商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

$u = \ln|x|$, $v = x$ とすると、$u' = \frac{1}{x}$, $v' = 1$ です。

したがって、

$\left(\frac{\ln|x|}{x}\right)' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln|x| \cdot 1}{x^2}$

$= \frac{1 - \ln|x|}{x^2}$

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3. $(\tan x)'$**

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、商の微分公式を使うこともできますが、ここでは既知の公式 $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ を使います。

$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

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4. $\left(\frac{e^x}{x}\right)'$**

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

$u = e^x$, $v = x$ とすると、$u' = e^x$, $v' = 1$ です。

したがって、

$\left(\frac{e^x}{x}\right)' = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2}$

$= \frac{e^x(x-1)}{x^2}$

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3. 最終的な答え

1. $\left(\frac{3+x}{3-x}\right)' = \frac{6}{(3-x)^2}$

2. $\left(\frac{\ln|x|}{x}\right)' = \frac{1 - \ln|x|}{x^2}$

3. $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

4. $\left(\frac{e^x}{x}\right)' = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$