与えられた関数の導関数を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、それぞれの導関数を求めます。 (1) $y = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$ (2) $y = \frac{1}{\cos x}$ (3) $y = \frac{1}{e^x + e^{-x}}$ (4) $y = \frac{1}{1 + \sqrt{1+x^2}}$

1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、それぞれの導関数を求めます。

(1) $y = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$

(2) $y = \frac{1}{\cos x}$

(3) $y = \frac{1}{e^x + e^{-x}}$

(4) $y = \frac{1}{1 + \sqrt{1+x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$ の導関数

まず、$(x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2$ と展開できます。したがって、$y = \frac{1}{x^2 + 3x + 2}$となります。

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{f(x)}) = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}$の公式を利用します。

$f(x) = x^2 + 3x + 2$ より、$f'(x) = 2x + 3$となります。

したがって、

$y' = -\frac{2x+3}{(x^2 + 3x + 2)^2} = -\frac{2x+3}{[(x+1)(x+2)]^2}$

(2) $y = \frac{1}{\cos x}$ の導関数

$y = \sec x$なので、$y' = \sec x \tan x = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$

別解として、$\frac{d}{dx}(\frac{1}{f(x)}) = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}$の公式を利用します。

$f(x) = \cos x$ より、$f'(x) = -\sin x$となります。

したがって、$y' = - \frac{-\sin x}{(\cos x)^2} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$

(3) $y = \frac{1}{e^x + e^{-x}}$ の導関数

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{f(x)}) = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}$の公式を利用します。

$f(x) = e^x + e^{-x}$ より、$f'(x) = e^x - e^{-x}$となります。

したがって、$y' = -\frac{e^x - e^{-x}}{(e^x + e^{-x})^2}$

(4) $y = \frac{1}{1 + \sqrt{1+x^2}}$ の導関数

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{f(x)}) = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}$の公式を利用します。

$f(x) = 1 + \sqrt{1+x^2}$ より、$f'(x) = \frac{1}{2}(1+x^2)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$となります。

したがって、$y' = -\frac{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{(1 + \sqrt{1+x^2})^2} = - \frac{x}{\sqrt{1+x^2} (1 + \sqrt{1+x^2})^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = -\frac{2x+3}{[(x+1)(x+2)]^2}$

(2) $y' = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$

(3) $y' = -\frac{e^x - e^{-x}}{(e^x + e^{-x})^2}$

(4) $y' = - \frac{x}{\sqrt{1+x^2} (1 + \sqrt{1+x^2})^2}$