放物線 $y=x^2$ $(0 \le x \le 2)$ を $y$ 軸のまわりに1回転させてできる容器に、毎秒 2 cm$^3$ の割合で水を注ぐ。水面の高さが $h$ cm ($0 \le h \le 4$) のとき、注がれた水の体積 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2$ $(0 \le x \le 2)$ を $y$ 軸のまわりに1回転させてできる容器に、毎秒 2 cm$^3$ の割合で水を注ぐ。水面の高さが $h$ cm ($0 \le h \le 4$) のとき、注がれた水の体積 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$y=x^2$ より $x = \sqrt{y}$。水面の高さが $h$ のとき、水で満たされた部分の体積 $V$ は、半径 $x = \sqrt{y}$ の円板を $y=0$ から $y=h$ まで積分することで求められる。円板の面積は $\pi x^2 = \pi (\sqrt{y})^2 = \pi y$ である。したがって、

$$V = \int_0^h \pi y \, dy = \pi \int_0^h y \, dy = \pi \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_0^h = \pi \left( \frac{1}{2} h^2 - 0 \right) = \frac{\pi}{2} h^2$$

3. 最終的な答え

$V = \frac{\pi}{2} h^2$ cm$^3$