## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

以下の関数の微分を求めます。

* $f(x) = \frac{3+x}{3-x}$

* $g(x) = \frac{\ln|x|}{x}$

* $h(x) = \tan x$

* $i(x) = \frac{e^x}{x}$

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2. 解き方の手順

### (1) $f(x) = \frac{3+x}{3-x}$ の微分

商の微分公式を用います。商の微分公式は、 $u(x)$ と $v(x)$ が微分可能な関数であるとき、

$\qquad \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

です。この問題では、$u(x) = 3+x$ および $v(x) = 3-x$ です。それぞれの導関数は、

$\qquad u'(x) = 1$

$\qquad v'(x) = -1$

したがって、

$\qquad f'(x) = \frac{1 \cdot (3-x) - (3+x) \cdot (-1)}{(3-x)^2} = \frac{3-x + 3 + x}{(3-x)^2} = \frac{6}{(3-x)^2}$

### (2) $g(x) = \frac{\ln|x|}{x}$ の微分

再び商の微分公式を用います。ここでは、$u(x) = \ln|x|$ および $v(x) = x$ です。それぞれの導関数は、

$\qquad u'(x) = \frac{1}{x}$

$\qquad v'(x) = 1$

したがって、

$\qquad g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln|x| \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln|x|}{x^2}$

### (3) $h(x) = \tan x$ の微分

$\tan x$ の微分は既知の結果です。

$\qquad h'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

### (4) $i(x) = \frac{e^x}{x}$ の微分

また商の微分公式を使用します。ここで、$u(x) = e^x$ および $v(x) = x$ です。それぞれの導関数は、

$\qquad u'(x) = e^x$

$\qquad v'(x) = 1$

したがって、

$\qquad i'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{xe^x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$

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3. 最終的な答え

* $\left(\frac{3+x}{3-x}\right)' = \frac{6}{(3-x)^2}$

* $\left(\frac{\ln|x|}{x}\right)' = \frac{1 - \ln|x|}{x^2}$

* $(\tan x)' = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

* $\left(\frac{e^x}{x}\right)' = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$