以下の3つの関数の微分を求めます。 1. $(\frac{x \sin x}{\cos x})'$

1. 問題の内容

以下の3つの関数の微分を求めます。

1. $(\frac{x \sin x}{\cos x})'$

2. $(\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}})'$

3. $(\frac{2x + 1}{x^2 + 1})'$

4. $((x^2 - 1)^4)'$

2. 解き方の手順

1. $(\frac{x \sin x}{\cos x})'$: 商の微分法と積の微分法を用います。

商の微分法: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

積の微分法: $(uv)' = u'v + uv'$

$u = x \sin x$, $v = \cos x$ とおくと、

$u' = (x \sin x)' = x' \sin x + x (\sin x)' = \sin x + x \cos x$

$v' = (\cos x)' = -\sin x$

したがって、

$(\frac{x \sin x}{\cos x})' = \frac{(\sin x + x \cos x)\cos x - (x \sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x}$

$= \frac{\sin x \cos x + x \cos^2 x + x \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x \cos x + x(\cos^2 x + \sin^2 x)}{\cos^2 x}$

$= \frac{\sin x \cos x + x}{\cos^2 x} = \frac{x + \sin x \cos x}{\cos^2 x}$

2. $(\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}})'$: 商の微分法を用います。

$u = e^x - e^{-x}$, $v = e^x + e^{-x}$ とおくと、

$u' = (e^x - e^{-x})' = e^x - (-1)e^{-x} = e^x + e^{-x}$

$v' = (e^x + e^{-x})' = e^x + (-1)e^{-x} = e^x - e^{-x}$

したがって、

$(\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}})' = \frac{(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2}$

$= \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2}$

$= \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{(e^x + e^{-x})^2}$

$= \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

3. $(\frac{2x + 1}{x^2 + 1})'$: 商の微分法を用います。

$u = 2x + 1$, $v = x^2 + 1$ とおくと、

$u' = (2x + 1)' = 2$

$v' = (x^2 + 1)' = 2x$

したがって、

$(\frac{2x + 1}{x^2 + 1})' = \frac{2(x^2 + 1) - (2x + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$

$= \frac{2x^2 + 2 - (4x^2 + 2x)}{(x^2 + 1)^2}$

$= \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2}$

$= \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2(x^2 + x - 1)}{(x^2 + 1)^2}$

4. $((x^2 - 1)^4)'$: 合成関数の微分法を用います。

$u = x^2 - 1$ とおくと、$f(u) = u^4$

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \frac{du}{dx}$

$\frac{df}{du} = 4u^3 = 4(x^2 - 1)^3$

$\frac{du}{dx} = 2x$

$((x^2 - 1)^4)' = 4(x^2 - 1)^3 \cdot 2x = 8x(x^2 - 1)^3$

3. 最終的な答え

1. $(\frac{x \sin x}{\cos x})' = \frac{x + \sin x \cos x}{\cos^2 x}$

2. $(\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}})' = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

3. $(\frac{2x + 1}{x^2 + 1})' = \frac{-2(x^2 + x - 1)}{(x^2 + 1)^2}$

4. $((x^2 - 1)^4)' = 8x(x^2 - 1)^3$