与えられた2つの定積分を計算します。 (i) $\int_0^1 x dx$ (ii) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分を計算します。

(i) $\int_0^1 x dx$

(ii) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$

2. 解き方の手順

(i) $\int_0^1 x dx$を計算します。

$x$ の不定積分は $\frac{1}{2}x^2$ です。微積分学の基本定理より、

$\int_0^1 x dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1 = \frac{1}{2}(1)^2 - \frac{1}{2}(0)^2 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$

(ii) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$を計算します。

$\cos x$ の不定積分は $\sin x$ です。微積分学の基本定理より、

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \left[ \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$

3. 最終的な答え

(i) $\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}$

(ii) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = 1$