定積分 $\int_2^3 \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx$ を計算する。

解析学定積分積分積分計算
2025/7/7

1. 問題の内容

定積分 23x2+x3xxdx\int_2^3 \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx を計算する。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を簡略化する。
x2+x3xx=x2x+x3xxx=x+x3/2xx1/2x=x+x1/2x1/2\frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{\sqrt{x^3}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} = x + \frac{x^{3/2}}{x} - \frac{x^{1/2}}{x} = x + x^{1/2} - x^{-1/2}
したがって、積分は次のようになる。
23(x+x1/2x1/2)dx\int_2^3 (x + x^{1/2} - x^{-1/2}) dx
各項を積分する。
xdx=12x2\int x dx = \frac{1}{2}x^2
x1/2dx=23x3/2\int x^{1/2} dx = \frac{2}{3}x^{3/2}
x1/2dx=2x1/2\int x^{-1/2} dx = 2x^{1/2}
したがって、
(x+x1/2x1/2)dx=12x2+23x3/22x1/2\int (x + x^{1/2} - x^{-1/2}) dx = \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x^{3/2} - 2x^{1/2}
定積分を計算する。
23(x+x1/2x1/2)dx=[12x2+23x3/22x1/2]23\int_2^3 (x + x^{1/2} - x^{-1/2}) dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x^{3/2} - 2x^{1/2} \right]_2^3
=(12(32)+23(33/2)2(31/2))(12(22)+23(23/2)2(21/2))= \left(\frac{1}{2}(3^2) + \frac{2}{3}(3^{3/2}) - 2(3^{1/2})\right) - \left(\frac{1}{2}(2^2) + \frac{2}{3}(2^{3/2}) - 2(2^{1/2})\right)
=(92+23(33)23)(2+23(22)22)= \left(\frac{9}{2} + \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) - 2\sqrt{3}\right) - \left(2 + \frac{2}{3}(2\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}\right)
=92+23232432+22= \frac{9}{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 2 - \frac{4}{3}\sqrt{2} + 2\sqrt{2}
=922+22432= \frac{9}{2} - 2 + 2\sqrt{2} - \frac{4}{3}\sqrt{2}
=52+232= \frac{5}{2} + \frac{2}{3}\sqrt{2}

3. 最終的な答え

52+223\frac{5}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3}

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