与えられた2つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \log \frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}$ (2) $y = \log \frac{x\sqrt{2x+1}}{(2x-1)^2}$

解析学微分対数関数合成関数の微分対数の性質
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた2つの関数を微分する問題です。
(1) y=log(x+2)3(2x+1)2y = \log \frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}
(2) y=logx2x+1(2x1)2y = \log \frac{x\sqrt{2x+1}}{(2x-1)^2}

2. 解き方の手順

(1) 対数の性質を利用して式を簡単にしてから微分します。
y=log(x+2)3log(2x+1)2=3log(x+2)2log(2x+1)y = \log (x+2)^3 - \log (2x+1)^2 = 3\log(x+2) - 2\log(2x+1)
両辺をxxで微分します。
dydx=31x+2222x+1=3x+242x+1\frac{dy}{dx} = 3 \frac{1}{x+2} - 2 \frac{2}{2x+1} = \frac{3}{x+2} - \frac{4}{2x+1}
通分して整理します。
dydx=3(2x+1)4(x+2)(x+2)(2x+1)=6x+34x8(x+2)(2x+1)=2x5(x+2)(2x+1)\frac{dy}{dx} = \frac{3(2x+1) - 4(x+2)}{(x+2)(2x+1)} = \frac{6x+3 - 4x - 8}{(x+2)(2x+1)} = \frac{2x-5}{(x+2)(2x+1)}
(2) 対数の性質を利用して式を簡単にしてから微分します。
y=logx+log2x+1log(2x1)2=logx+12log(2x+1)2log(2x1)y = \log x + \log \sqrt{2x+1} - \log (2x-1)^2 = \log x + \frac{1}{2} \log (2x+1) - 2\log(2x-1)
両辺をxxで微分します。
dydx=1x+1222x+1222x1=1x+12x+142x1\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \frac{2}{2x+1} - 2 \frac{2}{2x-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2x+1} - \frac{4}{2x-1}
通分して整理します。
dydx=(2x+1)(2x1)+x(2x1)4x(2x+1)x(2x+1)(2x1)\frac{dy}{dx} = \frac{(2x+1)(2x-1) + x(2x-1) - 4x(2x+1)}{x(2x+1)(2x-1)}
dydx=4x21+2x2x8x24xx(4x21)=2x25x1x(4x21)\frac{dy}{dx} = \frac{4x^2 - 1 + 2x^2 - x - 8x^2 - 4x}{x(4x^2-1)} = \frac{-2x^2 - 5x - 1}{x(4x^2-1)}
dydx=2x2+5x+1x(4x21)\frac{dy}{dx} = -\frac{2x^2+5x+1}{x(4x^2-1)}

3. 最終的な答え

(1) dydx=2x5(x+2)(2x+1)\frac{dy}{dx} = \frac{2x-5}{(x+2)(2x+1)}
(2) dydx=2x2+5x+1x(4x21)\frac{dy}{dx} = -\frac{2x^2+5x+1}{x(4x^2-1)}

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