与えられた2つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \log \frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}$ (2) $y = \log \frac{x\sqrt{2x+1}}{(2x-1)^2}$

解析学微分対数関数合成関数の微分対数の性質
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた2つの関数を微分する問題です。
(1) y=log(x+2)3(2x+1)2y = \log \frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}
(2) y=logx2x+1(2x1)2y = \log \frac{x\sqrt{2x+1}}{(2x-1)^2}

2. 解き方の手順

(1) 対数の性質を利用して式を簡単にしてから微分します。
y=log(x+2)3log(2x+1)2=3log(x+2)2log(2x+1)y = \log (x+2)^3 - \log (2x+1)^2 = 3\log(x+2) - 2\log(2x+1)
両辺をxxで微分します。
dydx=31x+2222x+1=3x+242x+1\frac{dy}{dx} = 3 \frac{1}{x+2} - 2 \frac{2}{2x+1} = \frac{3}{x+2} - \frac{4}{2x+1}
通分して整理します。
dydx=3(2x+1)4(x+2)(x+2)(2x+1)=6x+34x8(x+2)(2x+1)=2x5(x+2)(2x+1)\frac{dy}{dx} = \frac{3(2x+1) - 4(x+2)}{(x+2)(2x+1)} = \frac{6x+3 - 4x - 8}{(x+2)(2x+1)} = \frac{2x-5}{(x+2)(2x+1)}
(2) 対数の性質を利用して式を簡単にしてから微分します。
y=logx+log2x+1log(2x1)2=logx+12log(2x+1)2log(2x1)y = \log x + \log \sqrt{2x+1} - \log (2x-1)^2 = \log x + \frac{1}{2} \log (2x+1) - 2\log(2x-1)
両辺をxxで微分します。
dydx=1x+1222x+1222x1=1x+12x+142x1\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \frac{2}{2x+1} - 2 \frac{2}{2x-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2x+1} - \frac{4}{2x-1}
通分して整理します。
dydx=(2x+1)(2x1)+x(2x1)4x(2x+1)x(2x+1)(2x1)\frac{dy}{dx} = \frac{(2x+1)(2x-1) + x(2x-1) - 4x(2x+1)}{x(2x+1)(2x-1)}
dydx=4x21+2x2x8x24xx(4x21)=2x25x1x(4x21)\frac{dy}{dx} = \frac{4x^2 - 1 + 2x^2 - x - 8x^2 - 4x}{x(4x^2-1)} = \frac{-2x^2 - 5x - 1}{x(4x^2-1)}
dydx=2x2+5x+1x(4x21)\frac{dy}{dx} = -\frac{2x^2+5x+1}{x(4x^2-1)}

3. 最終的な答え

(1) dydx=2x5(x+2)(2x+1)\frac{dy}{dx} = \frac{2x-5}{(x+2)(2x+1)}
(2) dydx=2x2+5x+1x(4x21)\frac{dy}{dx} = -\frac{2x^2+5x+1}{x(4x^2-1)}

「解析学」の関連問題

この問題は、三角関数の値を計算したり、三角関数を含む式を簡単にしたり、三角関数の方程式や不等式を解いたり、三角関数を含む式の最大値と最小値を求める問題です。具体的には、以下の8つの小問があります。 (...

三角関数三角関数の値三角関数の計算三角関数の最大最小三角関数の方程式三角関数の不等式
2025/7/9

次の極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 8x + 4}{2x^2 + 3x + 7}$ (2) $\lim_{x \to 4} \fr...

極限ロピタルの定理三角関数対数関数
2025/7/9

以下の4つの関数を微分する問題です。4)では $a$ は定数です。 1) $(3x-1)^5$ 2) $\sin(2x^2+1)$ 3) $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ 4) $(e...

微分合成関数の微分指数関数三角関数
2025/7/9

与えられた4つの関数を微分する問題です。 1. $y = (3x-1)^5$

微分合成関数の微分導関数
2025/7/9

定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)^3| dx$ の値を求めます。

定積分絶対値積分
2025/7/9

定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)| dx$ を計算する問題です。

定積分絶対値積分計算
2025/7/9

関数 $y = x + \sin x$ の区間 $I = [0, 2\pi]$ における増減を調べる問題です。微分 $y'$ を求め、$y' = 0$ となる $x$ の値を求め、増減表を作成して関数...

微分関数の増減三角関数増減表単調増加
2025/7/9

媒介変数 $t$ を用いて、$x(t) = 3\cos t + 2\cos\frac{3}{2}t$、$y(t) = 3\sin t - 2\sin\frac{3}{2}t$ と表される曲線 $C$ ...

媒介変数微分接線三角関数
2025/7/9

周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ ($-\pi \le x < \pi$) のフーリエ級数を求める問題です。

フーリエ級数三角関数積分
2025/7/9

周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ ($-\pi \le x < \pi$), $f(x+2\pi) = f(x)$ のフーリエ級数を求める。

フーリエ級数三角関数積分偶関数積和の公式
2025/7/9