定積分 $\int_{2}^{3} \frac{x^2 + \sqrt[3]{x} - \sqrt{x}}{x} dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{2}^{3} \frac{x^2 + \sqrt[3]{x} - \sqrt{x}}{x} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を簡略化します。

$\frac{x^2 + \sqrt[3]{x} - \sqrt{x}}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} = x + x^{\frac{1}{3} - 1} - x^{\frac{1}{2} - 1} = x + x^{-\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{2}}$

したがって、求める定積分は次のようになります。

$\int_{2}^{3} (x + x^{-\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{2}}) dx$

各項を積分します。

$\int x dx = \frac{x^2}{2}$

$\int x^{-\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1} = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} = 3x^{\frac{1}{3}} = 3\sqrt[3]{x}$

$\int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}$

したがって、不定積分は次のようになります。

$\int (x + x^{-\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{2}}) dx = \frac{x^2}{2} + 3\sqrt[3]{x} - 2\sqrt{x} + C$

次に、定積分の値を計算します。

$\int_{2}^{3} (x + x^{-\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{2}}) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 3\sqrt[3]{x} - 2\sqrt{x} \right]_{2}^{3} = \left( \frac{3^2}{2} + 3\sqrt[3]{3} - 2\sqrt{3} \right) - \left( \frac{2^2}{2} + 3\sqrt[3]{2} - 2\sqrt{2} \right)$

$= \frac{9}{2} + 3\sqrt[3]{3} - 2\sqrt{3} - \frac{4}{2} - 3\sqrt[3]{2} + 2\sqrt{2} = \frac{5}{2} + 3(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}) - 2(\sqrt{3} - \sqrt{2})$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{2} + 3(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}) - 2(\sqrt{3} - \sqrt{2})$