(1) 関数 $y = \frac{3x - 7}{x - 2}$ のグラフの漸近線を求め、グラフを描く。 (2) 2つの関数 $y = \sqrt{-3x + 4}$ と $y = -x$ のグラフを描き、2つの関数の共有点を求める。それを利用して、不等式 $\sqrt{-3x + 4} > -x$ を解く。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \frac{3x - 7}{x - 2}$ のグラフの漸近線を求め、グラフを描く。

(2) 2つの関数 $y = \sqrt{-3x + 4}$ と $y = -x$ のグラフを描き、2つの関数の共有点を求める。それを利用して、不等式 $\sqrt{-3x + 4} > -x$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $y = \frac{3x - 7}{x - 2}$ の漸近線を求めます。

まず、垂直漸近線を求めます。分母が0になる $x$ の値を探します。

$x - 2 = 0$ より、$x = 2$ が垂直漸近線です。

次に、水平漸近線を求めます。 $x$ を無限大に近づけたときの $y$ の値を調べます。

$y = \frac{3x - 7}{x - 2} = \frac{3 - \frac{7}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$y \to \frac{3}{1} = 3$ となるため、$y = 3$ が水平漸近線です。

グラフを描くためには、いくつかの点を計算します。

$x = 0$ のとき、$y = \frac{-7}{-2} = \frac{7}{2} = 3.5$

$x = 1$ のとき、$y = \frac{3 - 7}{1 - 2} = \frac{-4}{-1} = 4$

$x = 3$ のとき、$y = \frac{9 - 7}{3 - 2} = \frac{2}{1} = 2$

$x = 4$ のとき、$y = \frac{12 - 7}{4 - 2} = \frac{5}{2} = 2.5$

(2)

関数 $y = \sqrt{-3x + 4}$ と $y = -x$ のグラフを描きます。

$y = \sqrt{-3x + 4}$ の定義域は $-3x + 4 \geq 0$ より、$x \leq \frac{4}{3}$ です。

2つの関数の共有点を求めるために、$\sqrt{-3x + 4} = -x$ を解きます。

両辺を2乗して、 $-3x + 4 = x^2$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

$(x + 4)(x - 1) = 0$

$x = -4$ または $x = 1$

$x = -4$ のとき、$y = -(-4) = 4$ であり、$\sqrt{-3(-4) + 4} = \sqrt{16} = 4$ なので、共有点です。

$x = 1$ のとき、$y = -1$ であり、$\sqrt{-3(1) + 4} = \sqrt{1} = 1$ なので、共有点ではありません。（2乗したために入り込んだ解です。）

したがって、共有点は $(-4, 4)$ のみです。

不等式 $\sqrt{-3x + 4} > -x$ を解きます。

グラフより、$y = \sqrt{-3x + 4}$ が $y = -x$ より上にある $x$ の範囲を求めます。ただし、$x \leq \frac{4}{3}$ である必要があります。

$x \in (-\infty, -4)$ のとき、$\sqrt{-3x + 4} > -x$ は成り立ちます。

$x > -4$ のとき、$x \leq \frac{4}{3}$ より、$-4 < x \leq \frac{4}{3}$ の範囲で考えます。

$x = 1$ で $\sqrt{-3x + 4} = 1 > -x = -1$ ですが、共有点ではないため成り立ちません。$x \leq 1$ で成り立つことが予想されます。

共有点の $x$ 座標が $-4$ であり、定義域が $x \leq \frac{4}{3}$ であることを考慮すると、不等式 $\sqrt{-3x + 4} > -x$ の解は、$x \leq -4$ または $-4 < x \leq \frac{4}{3}$ かつ $x \neq 1$を満たす必要があります。

$x=1$では不等式が成り立たないので、$x \leq -4$または $-4 < x < 1$となります。

共有点を求めるときに、$x=1$は2乗したことで入ってきた解であるため、実際には$1$は共有点ではありません。そのため、$x<1$の範囲においては、不等式$\sqrt{-3x+4} > -x$は成り立ちます。$1< x \leq \frac{4}{3}$の範囲では、$\sqrt{-3x+4}$の方が小さくなるので、不等式は成り立ちません。

以上より、$\sqrt{-3x + 4} > -x$ の解は、$x \leq 1$ かつ $x \leq \frac{4}{3}$より、$x \leq 1$となります。

3. 最終的な答え

(1) 漸近線：$x = 2$, $y = 3$

(2) 不等式 $\sqrt{-3x + 4} > -x$ の解: $x \leq -4$

あるいは $-4 \leq x < 1$

$x$の範囲：$x \leq 1$