2変数関数 $f(x, y) = \cos x + 2 \cos y - 3 \sin(xy)$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x, y)$ を $x, y$ について2次までMaclaurin展開せよ。 (2) $f(x, y)$ は原点で停留しているか判定せよ。停留点の場合、その臨界性（極値か、鞍点か）を判定せよ。

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x, y) = \cos x + 2 \cos y - 3 \sin(xy)$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x, y)$ を $x, y$ について2次までMaclaurin展開せよ。

(2) $f(x, y)$ は原点で停留しているか判定せよ。停留点の場合、その臨界性（極値か、鞍点か）を判定せよ。

2. 解き方の手順

(1) Maclaurin展開とは、原点$(0, 0)$におけるTaylor展開のことである。2次までのMaclaurin展開を行うために、必要な偏微分を計算する。

まず、与えられた関数を書き出す。

$f(x, y) = \cos x + 2 \cos y - 3 \sin(xy)$

次に、1階偏微分を計算する。

$f_x = -\sin x - 3y \cos(xy)$

$f_y = -2 \sin y - 3x \cos(xy)$

次に、2階偏微分を計算する。

$f_{xx} = -\cos x + 3y^2 \sin(xy)$

$f_{yy} = -2 \cos y + 3x^2 \sin(xy)$

$f_{xy} = -3 \cos(xy) + 3xy \sin(xy)$

$f_{yx} = -3 \cos(xy) + 3xy \sin(xy)$

次に、これらの偏微分を原点$(0, 0)$で評価する。

$f(0, 0) = \cos 0 + 2 \cos 0 - 3 \sin 0 = 1 + 2 - 0 = 3$

$f_x(0, 0) = -\sin 0 - 3(0) \cos 0 = 0$

$f_y(0, 0) = -2 \sin 0 - 3(0) \cos 0 = 0$

$f_{xx}(0, 0) = -\cos 0 + 3(0)^2 \sin 0 = -1$

$f_{yy}(0, 0) = -2 \cos 0 + 3(0)^2 \sin 0 = -2$

$f_{xy}(0, 0) = -3 \cos 0 + 3(0)(0) \sin 0 = -3$

2次までのMaclaurin展開は以下の式で与えられる。

$f(x, y) \approx f(0, 0) + f_x(0, 0)x + f_y(0, 0)y + \frac{1}{2}f_{xx}(0, 0)x^2 + f_{xy}(0, 0)xy + \frac{1}{2}f_{yy}(0, 0)y^2$

これらの値を代入して整理すると、

$f(x, y) \approx 3 + 0x + 0y + \frac{1}{2}(-1)x^2 + (-3)xy + \frac{1}{2}(-2)y^2$

$f(x, y) \approx 3 - \frac{1}{2}x^2 - 3xy - y^2$

(2) $f_x(0, 0) = 0$ かつ $f_y(0, 0) = 0$ であるから、原点は停留点である。

次に、ヘッセ行列式 $D$ を計算して、停留点の種類を判定する。

$D = f_{xx}(0, 0)f_{yy}(0, 0) - [f_{xy}(0, 0)]^2 = (-1)(-2) - (-3)^2 = 2 - 9 = -7$

$D < 0$ であるから、原点は鞍点である。

3. 最終的な答え

(1) 2次までのMaclaurin展開は $f(x, y) \approx 3 - \frac{1}{2}x^2 - 3xy - y^2$

(2) 原点は停留点であり、鞍点である。