与えられた4つの関数について、それぞれの極値を求める問題です。関数は以下の通りです。 (1) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$ (2) $f(x) = x^2e^{-x}$ (3) $f(x) = x \log x$ (4) $f(x) = x + \frac{2}{x}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、それぞれの極値を求める問題です。関数は以下の通りです。

(1) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$

(2) $f(x) = x^2e^{-x}$

(3) $f(x) = x \log x$

(4) $f(x) = x + \frac{2}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$ の場合

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$4x(x-1)(x+1) = 0$ より、$x = -1, 0, 1$

次に、増減表を作成します。

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

| :--- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↘ | 極小 | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |

$x=-1$ のとき、$f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$ (極小値)

$x=0$ のとき、$f(0) = (0)^4 - 2(0)^2 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$ (極大値)

$x=1$ のとき、$f(1) = (1)^4 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$ (極小値)

(2) $f(x) = x^2e^{-x}$ の場合

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 2xe^{-x} + x^2(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = xe^{-x}(2 - x)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$xe^{-x}(2 - x) = 0$ より、$x = 0, 2$

次に、増減表を作成します。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| :--- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | ↘ | 極小 | ↗ | 極大 | ↘ |

$x=0$ のとき、$f(0) = (0)^2e^{-0} = 0$ (極小値)

$x=2$ のとき、$f(2) = (2)^2e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$ (極大値)

(3) $f(x) = x \log x$ の場合 (定義域: $x > 0$)

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\log x + 1 = 0$ より、$\log x = -1$。したがって、$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$

次に、増減表を作成します。

| x | (0) | ... | 1/e | ... | ∞ |

| :--- | :-: | :-: | :---: | :-: | :-: |

| f'(x) | | - | 0 | + | |

| f(x) | | ↘ | 極小 | ↗ | |

$x=\frac{1}{e}$ のとき、$f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} (-1) = -\frac{1}{e}$ (極小値)

(4) $f(x) = x + \frac{2}{x}$ の場合 (定義域: $x \neq 0$)

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 1 - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 2}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{x^2 - 2}{x^2} = 0$ より、$x^2 - 2 = 0$。したがって、$x = \pm \sqrt{2}$

次に、増減表を作成します。

| x | ... | -√2 | ... | 0 | ... | √2 | ... |

| :--- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |

| f'(x) | + | 0 | - | | - | 0 | + |

| f(x) | ↗ | 極大 | ↘ | | ↘ | 極小 | ↗ |

$x=-\sqrt{2}$ のとき、$f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} + \frac{2}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{2} - \sqrt{2} = -2\sqrt{2}$ (極大値)

$x=\sqrt{2}$ のとき、$f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ (極小値)

3. 最終的な答え

(1) 極大値: $f(0) = 1$, 極小値: $f(-1) = f(1) = 0$

(2) 極小値: $f(0) = 0$, 極大値: $f(2) = \frac{4}{e^2}$

(3) 極小値: $f(\frac{1}{e}) = -\frac{1}{e}$

(4) 極大値: $f(-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}$, 極小値: $f(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$