(1) f(x)=x4−2x2+1 の場合 まず、導関数 f′(x) を求めます。 f′(x)=4x3−4x=4x(x2−1)=4x(x−1)(x+1) f′(x)=0 となる x を求めます。 4x(x−1)(x+1)=0 より、x=−1,0,1 次に、増減表を作成します。
| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 1 | ... |
| :--- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | ↘ | 極小 | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |
x=−1 のとき、f(−1)=(−1)4−2(−1)2+1=1−2+1=0 (極小値) x=0 のとき、f(0)=(0)4−2(0)2+1=0−0+1=1 (極大値) x=1 のとき、f(1)=(1)4−2(1)2+1=1−2+1=0 (極小値) (2) f(x)=x2e−x の場合 まず、導関数 f′(x) を求めます。 f′(x)=2xe−x+x2(−e−x)=e−x(2x−x2)=xe−x(2−x) f′(x)=0 となる x を求めます。 xe−x(2−x)=0 より、x=0,2 次に、増減表を作成します。
| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |
| :--- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |
| f(x) | ↘ | 極小 | ↗ | 極大 | ↘ |
x=0 のとき、f(0)=(0)2e−0=0 (極小値) x=2 のとき、f(2)=(2)2e−2=4e−2=e24 (極大値) (3) f(x)=xlogx の場合 (定義域: x>0) まず、導関数 f′(x) を求めます。 f′(x)=logx+x⋅x1=logx+1 f′(x)=0 となる x を求めます。 logx+1=0 より、logx=−1。したがって、x=e−1=e1 次に、増減表を作成します。
| x | (0) | ... | 1/e | ... | ∞ |
| :--- | :-: | :-: | :---: | :-: | :-: |
| f'(x) | | - | 0 | + | |
| f(x) | | ↘ | 極小 | ↗ | |
x=e1 のとき、f(e1)=e1log(e1)=e1(−1)=−e1 (極小値) (4) f(x)=x+x2 の場合 (定義域: x=0) まず、導関数 f′(x) を求めます。 f′(x)=1−x22=x2x2−2 f′(x)=0 となる x を求めます。 x2x2−2=0 より、x2−2=0。したがって、x=±2 次に、増減表を作成します。
| x | ... | -√2 | ... | 0 | ... | √2 | ... |
| :--- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| f'(x) | + | 0 | - | | - | 0 | + |
| f(x) | ↗ | 極大 | ↘ | | ↘ | 極小 | ↗ |
x=−2 のとき、f(−2)=−2+−22=−2−2=−22 (極大値) x=2 のとき、f(2)=2+22=2+2=22 (極小値)