与えられた4つの関数について、それぞれの極値を求める問題です。関数は以下の通りです。 (1) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$ (2) $f(x) = x^2e^{-x}$ (3) $f(x) = x \log x$ (4) $f(x) = x + \frac{2}{x}$

解析学微分極値導関数増減表
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、それぞれの極値を求める問題です。関数は以下の通りです。
(1) f(x)=x42x2+1f(x) = x^4 - 2x^2 + 1
(2) f(x)=x2exf(x) = x^2e^{-x}
(3) f(x)=xlogxf(x) = x \log x
(4) f(x)=x+2xf(x) = x + \frac{2}{x}

2. 解き方の手順

(1) f(x)=x42x2+1f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 の場合
まず、導関数 f(x)f'(x) を求めます。
f(x)=4x34x=4x(x21)=4x(x1)(x+1)f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)
f(x)=0f'(x) = 0 となる xx を求めます。
4x(x1)(x+1)=04x(x-1)(x+1) = 0 より、x=1,0,1x = -1, 0, 1
次に、増減表を作成します。
| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 1 | ... |
| :--- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | ↘ | 極小 | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |
x=1x=-1 のとき、f(1)=(1)42(1)2+1=12+1=0f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 (極小値)
x=0x=0 のとき、f(0)=(0)42(0)2+1=00+1=1f(0) = (0)^4 - 2(0)^2 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1 (極大値)
x=1x=1 のとき、f(1)=(1)42(1)2+1=12+1=0f(1) = (1)^4 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 (極小値)
(2) f(x)=x2exf(x) = x^2e^{-x} の場合
まず、導関数 f(x)f'(x) を求めます。
f(x)=2xex+x2(ex)=ex(2xx2)=xex(2x)f'(x) = 2xe^{-x} + x^2(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = xe^{-x}(2 - x)
f(x)=0f'(x) = 0 となる xx を求めます。
xex(2x)=0xe^{-x}(2 - x) = 0 より、x=0,2x = 0, 2
次に、増減表を作成します。
| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |
| :--- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |
| f(x) | ↘ | 極小 | ↗ | 極大 | ↘ |
x=0x=0 のとき、f(0)=(0)2e0=0f(0) = (0)^2e^{-0} = 0 (極小値)
x=2x=2 のとき、f(2)=(2)2e2=4e2=4e2f(2) = (2)^2e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2} (極大値)
(3) f(x)=xlogxf(x) = x \log x の場合 (定義域: x>0x > 0)
まず、導関数 f(x)f'(x) を求めます。
f(x)=logx+x1x=logx+1f'(x) = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1
f(x)=0f'(x) = 0 となる xx を求めます。
logx+1=0\log x + 1 = 0 より、logx=1\log x = -1。したがって、x=e1=1ex = e^{-1} = \frac{1}{e}
次に、増減表を作成します。
| x | (0) | ... | 1/e | ... | ∞ |
| :--- | :-: | :-: | :---: | :-: | :-: |
| f'(x) | | - | 0 | + | |
| f(x) | | ↘ | 極小 | ↗ | |
x=1ex=\frac{1}{e} のとき、f(1e)=1elog(1e)=1e(1)=1ef(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} (-1) = -\frac{1}{e} (極小値)
(4) f(x)=x+2xf(x) = x + \frac{2}{x} の場合 (定義域: x0x \neq 0)
まず、導関数 f(x)f'(x) を求めます。
f(x)=12x2=x22x2f'(x) = 1 - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 2}{x^2}
f(x)=0f'(x) = 0 となる xx を求めます。
x22x2=0\frac{x^2 - 2}{x^2} = 0 より、x22=0x^2 - 2 = 0。したがって、x=±2x = \pm \sqrt{2}
次に、増減表を作成します。
| x | ... | -√2 | ... | 0 | ... | √2 | ... |
| :--- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| f'(x) | + | 0 | - | | - | 0 | + |
| f(x) | ↗ | 極大 | ↘ | | ↘ | 極小 | ↗ |
x=2x=-\sqrt{2} のとき、f(2)=2+22=22=22f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} + \frac{2}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{2} - \sqrt{2} = -2\sqrt{2} (極大値)
x=2x=\sqrt{2} のとき、f(2)=2+22=2+2=22f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} (極小値)

3. 最終的な答え

(1) 極大値: f(0)=1f(0) = 1, 極小値: f(1)=f(1)=0f(-1) = f(1) = 0
(2) 極小値: f(0)=0f(0) = 0, 極大値: f(2)=4e2f(2) = \frac{4}{e^2}
(3) 極小値: f(1e)=1ef(\frac{1}{e}) = -\frac{1}{e}
(4) 極大値: f(2)=22f(-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}, 極小値: f(2)=22f(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}

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