$I_n = \int_0^1 x^n e^{-x} dx$ (ここで、$n = 0, 1, 2, ...$) が与えられています。 (1) $I_0$ を求めなさい。 (2) $I_{n+1}$ を $I_n$ を使って表しなさい。 (3) $I_5$ を求めなさい。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

$I_n = \int_0^1 x^n e^{-x} dx$ (ここで、$n = 0, 1, 2, ...$) が与えられています。

(1) $I_0$ を求めなさい。

(2) $I_{n+1}$ を $I_n$ を使って表しなさい。

(3) $I_5$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $I_0$ を求めます。

$I_0 = \int_0^1 x^0 e^{-x} dx = \int_0^1 e^{-x} dx$

$I_0 = [-e^{-x}]_0^1 = -e^{-1} - (-e^0) = 1 - e^{-1} = 1 - \frac{1}{e}$

(2) $I_{n+1}$ を $I_n$ で表します。部分積分を使います。

$I_{n+1} = \int_0^1 x^{n+1} e^{-x} dx$

$u = x^{n+1}$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、

$du = (n+1)x^n dx$, $v = -e^{-x}$

$I_{n+1} = [-x^{n+1}e^{-x}]_0^1 - \int_0^1 (-e^{-x})(n+1)x^n dx$

$I_{n+1} = -e^{-1} - 0 + (n+1)\int_0^1 x^n e^{-x} dx$

$I_{n+1} = -e^{-1} + (n+1)I_n$

$I_{n+1} = (n+1)I_n - \frac{1}{e}$

(3) $I_5$ を求めます。

$I_0 = 1 - \frac{1}{e}$

$I_1 = I_0 - \frac{1}{e} = (1 - \frac{1}{e}) - \frac{1}{e} = 1 - \frac{2}{e}$

$I_2 = 2I_1 - \frac{1}{e} = 2(1 - \frac{2}{e}) - \frac{1}{e} = 2 - \frac{5}{e}$

$I_3 = 3I_2 - \frac{1}{e} = 3(2 - \frac{5}{e}) - \frac{1}{e} = 6 - \frac{16}{e}$

$I_4 = 4I_3 - \frac{1}{e} = 4(6 - \frac{16}{e}) - \frac{1}{e} = 24 - \frac{65}{e}$

$I_5 = 5I_4 - \frac{1}{e} = 5(24 - \frac{65}{e}) - \frac{1}{e} = 120 - \frac{326}{e}$

3. 最終的な答え

(1) $I_0 = 1 - \frac{1}{e}$

(2) $I_{n+1} = (n+1)I_n - \frac{1}{e}$

(3) $I_5 = 120 - \frac{326}{e}$